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純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
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643: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/24(月) 07:17:12.00 ID:+oiN9Lqm >>639 補足 あと、素イデアルと極大イデアル補足 (参考：下記は分り易いね。可換環では、剰余環R/Iが、整域や体となるイデアル I の満たすべき条件がすっきり言える) https://icu-hsuzuki.github.io/science/class/algebra2/alg2text/alg2text.html ALGEBRA II 1999年 Hiroshi SUZUKIgif Department of Mathematics International Christian University https://icu-hsuzuki.github.io/science/class/algebra2/alg2text/node4.html 素イデアルと極大イデアル 1999年 （R を可換環、I をイデアルとする。このとき、剰余環R/Iが、整域や体となるイデアル I の満たすべき条件を考える。） (抜粋) I：極大イデアル←→R/I：体 →R/I：整域←→I：素イデアル。 R を可換環とすると、上の定理から、零イデアル が素イデアルであることと、R が整域であることが同値であり、また、 が極大イデアルであることと、R が体であることが同値である。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/643
644: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/24(月) 07:17:32.11 ID:+oiN9Lqm >>643 つづき https://www.irohabook.com/maximal-ideal Irohabook 極大イデアルの定義と性質（可換環） Aのイデアルmは 1.mがAでない 2.mより真に大きい自明でないイデアルが存在しない を満たすとき、極大イデアルであるという。 ツォルンの補題と極大イデアルの存在 可換環においてイデアルの集合（イデアルは集合だから集合の集合ということになる）は、包含関係によって順序をなす。 順序集合において成り立つツォルンの補題から、すべての自明でない可換環（零でない可換環）は極大イデアルをもつ。 ツォルンの補題→極大イデアルの存在 極大イデアルで割った商環 可換環をイデアルで割ると可換環になる。可換環を極大イデアルで割ると可換環になるが、同時に体になる。これはイデアルの包含関係が商に受けつがれることと、体に自明でないイデアルが存在しないことからわかる。 極大イデアルで割る→剰余環は体 極大イデアルは素イデアルである そこに含まれる元を二つの積に分解したとき、分解後の元がすべてそこに含まれるようなイデアルを素イデアルという。極大イデアルは素イデアルである。 可換環を素イデアルで割ると整域になるが、体は整域であるから、極大イデアルは素イデアルになる。 可換環関連記事 1.整域の整閉性は局所化で保存する 2.すべての環は極大イデアルをもつ 3.ネーター環の定義と性質 4.素イデアルの定義と性質（可換環） 5.極大イデアルの定義と性質（可換環） 6.素イデアルの定義と可換環の次元の話 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/644
647: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/24(月) 07:27:10.26 ID:+oiN9Lqm >>643-645 補足 イデアル 代数学の抽象的な定義をぶつけられて、「なにそれ？」となる人もいるかも 上記に示した具体的な使い道や、イデアルの生まれた由来（下記）などを、腹に入れておくと、理解しやすいかも 代数学の抽象的な定義をぶつけられて、「なにそれ？」で、立ち止まってしまわないことだな いまどき、ちょっと調べれば分かることも多い https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB_(%E7%92%B0%E8%AB%96) イデアル (環論) 歴史 19世紀のドイツの数学者であるクンマーはフェルマーの最終定理を証明しようと研究していた。その中で彼は、代数的整数に関しては有理整数の場合のような素因数分解の一意性が必ずしも成り立たないという問題に直面した。 理想的な分解を与える因子を理想（複素）数 (ideale complexe Zahl ) あるいは理想因子 (ideal Primfactor) と名付けて、理想数の理論を築いた。 クンマーの理想数の理論は非常に形式的で、とても難解なものであった。後になってデデキントは理想数の理論を整理することによってイデアルを考案した。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/647
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