純粋・応用数学（含むガロア理論）3

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65: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/24(金) 23:02:05 ID:9ZL6gwFd

>>64
つづき
662 自分：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/07/05(日) 09:37:34.35 ID:UyE0c9o0 [1/7]
>>541-452
”位相（開集合）を使った収束の定義や、さらに発展させたフィルターやネット、あるいはノンスタ（超準）、そして圏論の極限と余極限”
ここらを総合的に理解しておけば
”εδ論法”なんて、どうってことないのよ（＾＾

εδマンセーは古い
距離空間にしか使えないから
早く、位相空間を学びましょう〜！（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
(抜粋)
位相空間（いそうくうかん、英語: topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。

収束の一意性は、位相空間に「ハウスドルフ性」という性質を加えると成立する。

X、Y が距離空間である場合、前述した連続性の定義はイプシロン・デルタ論法による連続性の定義と同値である。

距離空間の場合、点列の収束の概念を用いることで連続性や閉集合といった基礎的概念を特徴づけることができたが、一般の位相空間ではそのような事はできない。(これが可能な空間を列型空間という)。

これは点列という概念が、自然数という限定的な添え字しか許さないことや、点の列だけで集合の列を考慮していない事などが原因である。

しかし、そうした側面に対して点列の概念を一般化したものである有向点族やフィルターの概念を用いれば、前述した基礎的概念をこれらの収束性で特徴づけることができる。

これらの収束性を考える利点はもうひとつあり、点列の収束性では必要性しかいえない命題が、これらの収束性を用いれば、必要十分性が言えるときがある。

例えば点列の収束の一意性は、前述したハウスドルフ性の必要条件に過ぎないが、有向点族の収束の一意性はハウスドルフ性の必要十分条件となる。

分離公理とは、位相空間 X 上の2つの対象(点や閉集合)を開集合により「分離」(separate)する事を示す一連の公理、もしくはそこから派生した公理である。

代表的な分離公理としてハウスドルフの分離公理があり、これは以下のような公理である：

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/65

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