[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/

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615: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/23(日) 09:04:41.27 ID:ehdjUjVy >>614 つづき 下記は、屋上屋だが貼る https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kawaguch/pdf/11RingModule.pdf 代数学 2 の配布資料など （2012 年 1 月 31 日） 川口 周 大阪大学理学研究科数学専攻 (抜粋) （可換環） P9 問 2.1. (b) √0 := {a ∈ A | a はべき零元 } は A のイデアルになることを示せ．√0 を A のべき零根基（nilradical）という． P26 中山の補題 A を環とする． r =∩(1〜m) m （m は A の極大イデアルすべてを動く） とおく．イデアル r を A のジャコブソン根基（Jacobson radical）という． a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である．　実際，背理法で，1 +a が単元でないとすると，I = (1 +a) は I 6= A をみたす A のイデアルなので，I ⊆ m となる A の極大イデアル m が存在する．このとき，1 + a ∈ m, a ∈ m よ り，1 ∈ m となるが，これは矛盾である． 上のケーリー・ハミルトンの定理の証明と同様の方法で，中山の補題という（中山?東屋?Krull の補題ともいう） 次の定理が証明できる．A のイデアル I と A-加群 M に対して， IM = {a1m1+・ ・ ・+anmn | n >= 1, a1, . . . , an ∈I, m1, . . . , mn ∈ M} とおく． 定理 6.18 (中山の補題). A は環，I は I ⊆ r をみたす A のイデアル，M は有限生成 A-加群とする．このとき， M = IM ならば，M = 0 が成り立つ． 証明の概略． 略 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/615

618: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/23(日) 09:47:44.97 ID:ehdjUjVy >>615 文字化け訂正 a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である．　実際，背理法で，1 +a が単元でないとすると，I = (1 +a) は I 6= A をみたす A のイデアルなので，I ⊆ m となる A の極大イデアル m が存在する． 　↓ I 6= Aは、 I ≠ A http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/618

639: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/23(日) 19:44:35.58 ID:ehdjUjVy >>615 (引用開始) https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kawaguch/pdf/11RingModule.pdf 代数学 2 の配布資料など （2012 年 1 月 31 日） 川口 周 大阪大学理学研究科数学専攻 (抜粋) （可換環） P26 中山の補題 A を環とする． r =∩(1〜m) m （m は A の極大イデアルすべてを動く） とおく．イデアル r を A のジャコブソン根基（Jacobson radical）という． a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である．　実際，背理法で，1 +a が単元でないとすると，I = (1 +a) は I ≠ A をみたす A のイデアルなので，I ⊆ m となる A の極大イデアル m が存在する．このとき，1 + a ∈ m, a ∈ m よ り，1 ∈ m となるが，これは矛盾である． (引用終り) 上記の「a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である」は、下記ですな https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%B3%E3%83%96%E3%82%BD%E3%83%B3%E6%A0%B9%E5%9F%BA ジャコブソン根基 (抜粋) 同値な特徴づけ 単位元をもつ場合 ・ J(R)は 1+RxR のすべての元が単元であるようなすべての元 x∈ R からなる集合である。 J(R)={x∈ R ｜ 1+RxR⊂ R^x } http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/639

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