[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/

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614: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/23(日) 09:03:57.66 ID:ehdjUjVy >>526 補足 >よってこれ（>>482）「逆に、行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる」 >は、撤回しておくよ 行列環 Mn(R)で、零因子を含むヤコブソン根基（>>604）J(Mn(R)を作って 商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言えて（>>605） 零因子を含まない環が、できるのか (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E6%A0%B9%E5%9F%BA 環の根基 (抜粋) 環の根基 (radical of a ring) は環の「悪い」元からなるイデアルである。 根基の最初の例は冪零根基であった。 これは (Wedderburn 1908) のサジェスチョンに基づいて、(Kothe 1930) で導入された。 次の数年間でいくつかの他の根基が発見された。 それらのうち最も重要な例はジャコブソン根基である。 根基の一般論は (Amitsur 1952, 1954, 1954b) と Kurosh (1953) によって独立に定義された。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/614

615: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/23(日) 09:04:41.27 ID:ehdjUjVy >>614 つづき 下記は、屋上屋だが貼る https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~kawaguch/pdf/11RingModule.pdf 代数学 2 の配布資料など （2012 年 1 月 31 日） 川口 周 大阪大学理学研究科数学専攻 (抜粋) （可換環） P9 問 2.1. (b) √0 := {a ∈ A | a はべき零元 } は A のイデアルになることを示せ．√0 を A のべき零根基（nilradical）という． P26 中山の補題 A を環とする． r =∩(1〜m) m （m は A の極大イデアルすべてを動く） とおく．イデアル r を A のジャコブソン根基（Jacobson radical）という． a ∈ r のとき，1 + a は A の単元である．　実際，背理法で，1 +a が単元でないとすると，I = (1 +a) は I 6= A をみたす A のイデアルなので，I ⊆ m となる A の極大イデアル m が存在する．このとき，1 + a ∈ m, a ∈ m よ り，1 ∈ m となるが，これは矛盾である． 上のケーリー・ハミルトンの定理の証明と同様の方法で，中山の補題という（中山?東屋?Krull の補題ともいう） 次の定理が証明できる．A のイデアル I と A-加群 M に対して， IM = {a1m1+・ ・ ・+anmn | n >= 1, a1, . . . , an ∈I, m1, . . . , mn ∈ M} とおく． 定理 6.18 (中山の補題). A は環，I は I ⊆ r をみたす A のイデアル，M は有限生成 A-加群とする．このとき， M = IM ならば，M = 0 が成り立つ． 証明の概略． 略 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/615

617: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/23(日) 09:45:39.54 ID:7NMituVg >>614 🐎🦌がまた💩壺に墜ちたな… >行列環 Mn(R)で、零因子を含むヤコブソン根基 J(Mn(R))を作って >商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言えて >零因子を含まない環が、できるのか そう思うなら、貴様のその手でやってみろ 「行列環 Mn(R)のヤコブソン根基 J(Mn(R))から 　商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言える」 しかし貴様の望む零因子を含まない環は決して得られない 何故か？　貴様には何遍死んでも分かるまい 「何遍死んでも」とは「任意の自然数ｎについてｎ回死んでも」の意味 無限回死んだら？さあ、どうだろうな？ で、貴様に質問だが、無限回死ぬことは可能だと思うか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/617

626: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/23(日) 16:06:25.22 ID:ehdjUjVy >>614 >行列環 Mn(R)で、零因子を含むヤコブソン根基（>>604）J(Mn(R)を作って >商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言えて（>>605） >零因子を含まない環が、できるのか これも撤回（＾＾； 上記の話は、可換環 R の話みたい（>>619-620ご参照） 行列環が、Division ringになる条件 うん、これか "Relation to fields and linear algebra In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]" （ unitary ring、単位的環、単位環 ） むずいｗ（＾＾； https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring Division ring Relation to fields and linear algebra All fields are division rings; more interesting examples are the non-commutative division rings. The best known example is the ring of quaternions H. If we allow only rational instead of real coefficients in the constructions of the quaternions, we obtain another division ring. In general, if R is a ring and S is a simple module over R, then, by Schur's lemma, the endomorphism ring of S is a division ring;[6] every division ring arises in this fashion from some simple module. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/626

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