[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/

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605: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 22:49:28.30 ID:qg6YAvVW >>604 つづき ジャコブソン根基は直感的にはベキ零根基によく似ている。環論において「悪い」という意味はいくつか考えられるが、その一つは零因子であることである。 それよりより広い意味での「悪い」という概念は、単元でない（乗法について可逆でない）ことである。環のジャコブソン根基は単に単元でないというよりも強い性質を満たす元からなる。 これは正式な言い方ではないがジャコブソン根基は（というよりも多くの根基と呼ばれるものはというべきだが）「悪さ」の度合いについて単元でない元のうちでも「悪い」ものの集合だということができる ――ある意味で、ジャコブソン根基の元は「環に内在的な」どんな加群においても「単元として振る舞っ」てはならない。 正確に言えば、ジャコブソン根基の元は自然な準同型（英語版）のもとで、問題の環に内在的なすべての「右可除環」（すべての非零元が右逆元（英語版）をもっているような環）の零元に射影しなければならない。 簡潔に言えば、それは環のすべての極大右イデアルに属していなければならない。これらの考えはもちろん不正確だが、少なくともなぜ可換環のベキ零根基がジャコブソン根基に含まれているかを説明している。 さらに単純な方法で、環のジャコブソン根基を環の「悪い元を消す」手段として考えることができる――つまり、ジャコブソン根基の元は商環 R/J(R) において 0 として振る舞う。N が可換環 R のベキ零根基であれば、商環 R/N はベキ零元をもたない。同様に任意の環 R に対して、商環は J(R/J(R)) = {0} という性質をもっており、したがってジャコブソン根基におけるすべての「悪い」元は J(R) で割ることによって取り除かれている。ジャコブソン根基やベキ零根基の元はそれゆえ 0 の一般化と見ることができる。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/605

614: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/23(日) 09:03:57.66 ID:ehdjUjVy >>526 補足 >よってこれ（>>482）「逆に、行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる」 >は、撤回しておくよ 行列環 Mn(R)で、零因子を含むヤコブソン根基（>>604）J(Mn(R)を作って 商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言えて（>>605） 零因子を含まない環が、できるのか (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E3%81%AE%E6%A0%B9%E5%9F%BA 環の根基 (抜粋) 環の根基 (radical of a ring) は環の「悪い」元からなるイデアルである。 根基の最初の例は冪零根基であった。 これは (Wedderburn 1908) のサジェスチョンに基づいて、(Kothe 1930) で導入された。 次の数年間でいくつかの他の根基が発見された。 それらのうち最も重要な例はジャコブソン根基である。 根基の一般論は (Amitsur 1952, 1954, 1954b) と Kurosh (1953) によって独立に定義された。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/614

619: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/23(日) 09:52:41.43 ID:ehdjUjVy >>617 (>>605より) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%B3%E3%83%96%E3%82%BD%E3%83%B3%E6%A0%B9%E5%9F%BA ジャコブソン根基 (抜粋) さらに単純な方法で、環のジャコブソン根基を環の「悪い元を消す」手段として考えることができる――つまり、ジャコブソン根基の元は商環 R/J(R) において 0 として振る舞う。N が可換環 R のベキ零根基であれば、商環 R/N はベキ零元をもたない。同様に任意の環 R に対して、商環は J(R/J(R)) = {0} という性質をもっており、したがってジャコブソン根基におけるすべての「悪い」元は J(R) で割ることによって取り除かれている。ジャコブソン根基やベキ零根基の元はそれゆえ 0 の一般化と見ることができる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/619

626: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/23(日) 16:06:25.22 ID:ehdjUjVy >>614 >行列環 Mn(R)で、零因子を含むヤコブソン根基（>>604）J(Mn(R)を作って >商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言えて（>>605） >零因子を含まない環が、できるのか これも撤回（＾＾； 上記の話は、可換環 R の話みたい（>>619-620ご参照） 行列環が、Division ringになる条件 うん、これか "Relation to fields and linear algebra In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]" （ unitary ring、単位的環、単位環 ） むずいｗ（＾＾； https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring Division ring Relation to fields and linear algebra All fields are division rings; more interesting examples are the non-commutative division rings. The best known example is the ring of quaternions H. If we allow only rational instead of real coefficients in the constructions of the quaternions, we obtain another division ring. In general, if R is a ring and S is a simple module over R, then, by Schur's lemma, the endomorphism ring of S is a division ring;[6] every division ring arises in this fashion from some simple module. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/626

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