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純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
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588: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 16:06:52 ID:qg6YAvVW >>543 追加 複素数、４元数、８元数の行列表現 （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0 複素数 (抜粋) 行列表現 「実二次正方行列」も参照 複素数 α = a + bi を、C 上の（左からの）作用と見ると、それに対応する R2 上での一次変換の表現行列を考えることができる。 対応(a,b ∈R) a+bi ↓↑ (a,-b b,a) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0 四元数 (抜粋) 行列表現 複素数が行列で表されたのとまったく同様に、四元数も行列で表すことができる。四元数を行列として表現して、四元数の加法と乗法を行列のそれに対応させる方法は、少なくとも二つあり、一つは 2×2 複素行列を用いるもの、いま一つは 4×4 実行列を用いるものである。何れの場合も、表現は線型に関連する表現の族として与えられるもので、抽象代数学の言葉でいえば、H からそれぞれ全行列環 M2(C) および M4(R) への単射環準同型である。 2×2 複素行列を用いて、四元数 a + bi + cj + dk は (a+bi,c+di -c+di,a-bi) と表現される。この表現は以下のような性質を持つ： ・複素数 (c = d = 0) は対角行列に対応する。 ・四元数のノルム（複素数のノルム同様に、自身とその共軛との積の平方根）は対応する行列の行列式の平方根に一致する[21]。 ・四元数の共軛は、対応する行列のエルミート共軛に対応する。 ・単位四元数に制限すれば、この表現は S3 と SU(2) との間の同型を与える。後者の群は量子力学においてスピンを記述するのに重要である（パウリ行列を参照）。 4×4 実行列を用いれば、同じ四元数は 略 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/588
589: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 16:07:23 ID:qg6YAvVW >>588 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0 八元数 (抜粋) 八元数（はちげんすう、英: octonion; オクトニオン）の全体は実数体上のノルム多元体で、ふつう大文字アルファベットの O を使って、太字の O（あるいは黒板太字の ??）で表される。実数体上のノルム多元体はたった四種類であり、O のほかは、実数の全体 R, 複素数の全体 C, 四元数の全体 H しかない。O はこれらノルム多元体の中で最大のもので、実八次元、これは H の次元の二倍である（O は H を拡大して得られる）。八元数の全体 O における乗法は非可換かつ非結合的だが、弱い形の結合性である冪結合律は満足する。 より広く調べられ利用されている四元数や複素数に比べれば、八元数についてはそれほどよく知られているわけではない。にもかかわらず、八元数にはいくつも興味深い性質があり、それに関連して（例外型リー群が持つような）例外的な構造もいくつも備えている。加えて、八元数は弦理論などといった分野に応用を持っている。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/589
590: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 16:08:29 ID:qg6YAvVW >>588 つづき 下記がよく纏まっているよ（＾＾ https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tnomura/EdAct/nomura060730.pdf 行 列 の 世 界 で 代 数・幾 何・解 析 九州大学公開講座 「現代数学入門」 （2006 年 7 月 30 日） 野 村 隆 昭 （九州大学 大学院数理学研究院 教授） (抜粋) P27 （え）n 次正定値 4 元数エルミート行列全体 (n = 2) 4 元数を成分とする n 次正方行列 X = (xij ) で，すべての i, j （ただし 1 <= i <=j <= n）に対して xji = xij となるとき，X を 4 元数エルミート行列と言います． （お）3 次正定値 8 元数エルミート行列全体 8 元数を成分とする n 次正方行列 X = (xij ) で，すべての i, j（ただし 1 <= i <=j <= n）に対して xji = xij となるとき，X を 8 元数エルミート行列と言います． (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/590
591: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 16:10:25 ID:qg6YAvVW >>588 リンクタイポ訂正 >>543 追加 ↓ >>534 追加 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/591
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