[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/

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547: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 10:18:54 ID:qg6YAvVW >>528 補足 >数学に王道無しというが、王道は無くても、正道はあるとおもう >正道とは、自分に適した道のこと さて、下記の問題で、 (>>378) >実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。 もう一度、この問題のまとめを しよう 大体は、>>463と>>481に書いたけど、証明の方針は、下記の「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである」に同じ （蛇足だが、{0}（零0から成るイデアル）と、環R全体から成るイデアルを、自明なイデアルという） ＜チャート式風考察＞（＾＾； １．問題文の「イデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ」から、Mn(R)と{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして、Iの性質を調べるという筋が浮かぶ 　背理法で、「Mn(R)と{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして」から、矛盾（実はI＝R）でも良いし 　背理法を避けて、「{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして」でも良い 　要は、「（中間の）イデアルI」に思い至ること ２．イデアルの知識として、乗法単位元1が、イデアルIに含まれると、I＝Rとなることを知っておく、1∈I →I＝R 　（いまの場合、単位行列E∈I を示すという方針になる） 　これは、1∈I→1R⊂I から出る ３．上記で既に言及しているが、I＝Rという等号は、”I⊂R ＆ R⊂I”に分けて証明することが多い 　（余談だが、これは不等式で、I＝Rという等式を、”I>=R ＆ R=<I”に分けて証明するのに類似） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/547

548: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 10:19:18 ID:qg6YAvVW >>547 つづき さて、「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られること」 の証明 １．{0}以外の（中間の）イデアルIがあるとする。0 ≠ A = (aij) ∈ Iなる行列Aが存在する 　　ここに、0 ≠ Aより、ある成分aij≠0である ２．行列単位 Ekl （klのみ1で 他は0の行列）を使う 　　行列の積 Eki・A・Ejkは、(k,k)なる対角成分が aijになる行列である（注：この式変形は、知識として知っておく必要あり） 　　aij≠0なので、上の積に1/aijを掛けると、(1/aij)(Eki・A・Ejk)＝Ekkとなる ３．イデアルが部分加群を成すことより、Ekkの和を取って 　　Σ k=1〜n Ekk ＝E ∈ Iが示せた。（ここに、Eは単位行列） ４．上記のチャート式２より、I＝Rとなる QED （補足：要するに、基底の全部Eklを示す必要はなく、対角成分Ekkのみを示せば良い） この証明の方針は、下記の「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである」にもそのまま使える 「環Rが体であるならば、自明なイデアルしか持たない」のみを示そう 証明 １．{0}以外の（中間の）イデアルIがあるとする。0 ≠ a ∈ Iなる元aが存在する ２．体であるから、0 ≠ aより、逆元a^-1 がR中に存在する ３．イデアルの定義より、 a・a^-1＝1 ∈ Iとなる。（ここに、1は乗法単位元） ４．上記のチャート式２より、I＝Rとなる QED すっきりしているでしょ（＾＾ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/548

550: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/22(土) 10:29:52 ID:es3Bwx6Y >>547 王道あれば覇道あり シナあれば蒙古あり ＞２．イデアルの知識として、乗法単位元1が、イデアルIに含まれると、I＝Rとなることを知っておく 馬鹿は一つの知識に固執する 利口は新たな知識を恐れない イデアルの知識として、イデアルが加群であることを知っておく Rの基底が全てIの要素であれば、I=Rとなるのは、加群として当たり前 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/550

551: １３２人目の素数さん [] 2020/08/22(土) 10:32:23 ID:q0LXAazy >>547 >「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである」 だから可換環だっちゅーにｗ　学習せん奴やのうｗ 非可換環では反例が存在することをまさにいま見たばっかりだろｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/551

555: １３２人目の素数さん [] 2020/08/22(土) 10:38:57 ID:q0LXAazy >>547 >２．イデアルの知識として、乗法単位元1が、イデアルIに含まれると、I＝Rとなることを知っておく それを言うなら、より条件の緩い「Rの単元がIに属すと・・・」だろｗ ちょっとは頭使えよｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/555

562: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 11:13:24 ID:qg6YAvVW >>547 >数学に王道無しというが、王道は無くても、正道はあるとおもう >正道とは、自分に適した道のこと 大学の数学の練習問題というのは 例えば、19世紀とか20世紀前半に その時代の天才数学者が心血をそそいだ、当時の未解決問題が、あったりするわけだ それを、どこまで時間を掛けて自力で解く努力をするか さて、数学の問題を、３つに分ける 教科書の練習問題、院試の問題、数学研究の未解決問題 教科書の練習問題 １．時間：無制限 ２．参照：あり。何を見ても、だれに聞いても良いし、教えて貰っても良い。というより、積極的に友人作って、教え合えば良い 院試の問題 １．時間：制限あり ２．参照：だめ。その場で自力で解く 数学研究の未解決問題 １．時間：無制限 ２．参照：あり。何を見ても、だれに聞いても良いし、教えて貰っても良い。というより、積極的に共同研究をやるのが良いと思う ところで、教科書の練習問題を解く目的は、院試であったり、将来の数学研究のためであったりする（勿論、教材の理解を深める意味もある） ・もし、目的が院試なら、解答を見て、よく理解して、解法の筋を分析して、同じ問題やちょっとひねった類似問題が、制限時間内に解けるようにするってことが必要だ ・それが、>>547-548だ ・もちろん、上記のキモは、「解答を見て、よく理解して、解法の筋を分析して、同じ問題やちょっとひねった類似問題が、解けるよう」ってことだから 　数学研究から、全く外れているわけでもない 要するに、自力で問題が解けるためには、ある程度のその分野の数学の知識と、数学の筋が閃かないと、ダメ で、教科書の練習問題で、自力で解けそうかどうか、そういう見極めも大事 院試対策なら、上記の通り、ある程度で、解答を見て その解答を、理解・分析するって勉強法もありだろう つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/562

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