純粋・応用数学（含むガロア理論）3

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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534: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/22(土) 07:59:53 ID:qg6YAvVW

>>526 補足
もう一度、零因子と逆元との関係を纏めておこう
まず、実数Rを成分とするn×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)については、下記ご参照

１．n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) で、ここには0（零行列）と零因子が含まれている
２．Mn(R) から 0（零行列）と零因子を除けば、n×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)になる
３．行列環 Mn(R) においては、零因子か（逆元を持つ）正則行列かは、その行列式で分けられる
　即ち、行列A∈Mn(R)で、行列式｜A｜＝0なら零因子、行列式｜A｜≠0なら正則行列となる
　だから、零因子で無ければ、（逆元を持つ）正則行列である

だから、n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) において、零因子と正則行列は、密接に関係しているのです！（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/General_linear_group
General linear group
(抜粋)
In mathematics, the general linear group of degree n is the set of n×n invertible matrices, together with the operation of ordinary matrix multiplication. This forms a group, because the product of two invertible matrices is again invertible, and the inverse of an invertible matrix is invertible, with identity matrix as the identity element of the group. The group is so named because the columns of an invertible matrix are linearly independent, hence the vectors/points they define are in general linear position, and matrices in the general linear group take points in general linear position to points in general linear position.

To be more precise, it is necessary to specify what kind of objects may appear in the entries of the matrix.
For example, the general linear group over R (the set of real numbers) is the group of n×n invertible matrices of real numbers, and is denoted by GLn(R) or GL(n, R).

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/534

535: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/22(土) 08:00:26 ID:qg6YAvVW

>>534
つづき

More generally, the general linear group of degree n over any field F (such as the complex numbers), or a ring R (such as the ring of integers), is the set of n×n invertible matrices with entries from F (or R), again with matrix multiplication as the group operation.[1] Typical notation is GLn(F) or GL(n, F), or simply GL(n) if the field is understood.

More generally still, the general linear group of a vector space GL(V) is the abstract automorphism group, not necessarily written as matrices.

The special linear group, written SL(n, F) or SLn(F), is the subgroup of GL(n, F) consisting of matrices with a determinant of 1.

The group GL(n, F) and its subgroups are often called linear groups or matrix groups (the abstract group GL(V) is a linear group but not a matrix group). These groups are important in the theory of group representations, and also arise in the study of spatial symmetries and symmetries of vector spaces in general, as well as the study of polynomials. The modular group may be realised as a quotient of the special linear group SL(2, Z).

If n >= 2, then the group GL(n, F) is not abelian.

Contents
1 General linear group of a vector space
2 In terms of determinants
3 As a Lie group
3.1 Real case
3.2 Complex case
4 Over finite fields
4.1 History
5 Special linear group
6 Other subgroups
6.1 Diagonal subgroups
6.2 Classical groups
7 Related groups and monoids
7.1 Projective linear group
7.2 Affine group
7.3 General semilinear group
7.4 Full linear monoid
8 Infinite general linear group

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4
一般線型群

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/535

536: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/22(土) 08:01:22 ID:qg6YAvVW

>>534
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4
行列群
(抜粋)
行列群は指定された体 K上の可逆行列からなる群 G で、行列の積の操作を伴うものである。線型群は体 K 上の行列群に同型な抽象群、つまり、K 上と忠実な有限次元表現を認めるものである。

任意の有限群が線型であるのはケイリーの定理（英語版）を使って置換行列によって実現できるためである。無限群（英語版）の中で、線型群は興味深く扱いやすいクラスをなす。
線型でない群の例としては、「あまりに大きな」群（を含む。例えば、無限集合の置換からなる群）やある種の病的な振る舞いを示す群（例えば、有限生成された無限ねじり群）などがある。

基本的な例
群Gが線形であると言われるのは、体K、整数d、Gから一般線形群GLd(K)への単射（K上のd次の忠実な線形表現）が存在する場合である。 必要であれば，GがK上でd次線形であると言うことで，体と次元について言及することができる。

基本的な例は、例えば線形群の部分群として定義される群である。例えば
1.群GLn(K)そのもの。
2.特殊線形群SLn(K)（行列式1を持つ行列の部分群）。
3.可逆な上(または下)の三角行列の群
4.giが集合Iで指定されたGLn(K)の要素の集合であるとすると、giによって生成される部分群は線形である。

古典群
詳細は「古典群（英語版）」を参照
とりわけ面白い行列群はいわゆる古典群（英語版）である。行列群の係数の環が実数のとき、これらの群は古典リー群（英語版）である。基礎環が有限体であるとき古典群はリー型の群（英語版）である。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす。

行列群としての有限群
すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理（英語版）と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい。

表現論と指標理論
線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広範囲に渡って使われてきた。とくに表現論は群から行列群への写像を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への準同型を研究する。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/536

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