純粋・応用数学（含むガロア理論）3

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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492: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/21(金) 16:15:54 ID:sZPmTJOe

>>491 追加

まあ、ここらも、読まないとね（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%80%E6%89%80%E7%92%B0
局所環
(抜粋)
局所環（きょくしょかん、英: local ring[1]）は、1938年にヴォルフガンク・クルルによって導入された概念で[2]、比較的簡単な構造を持つ環であり、代数多様体や可微分多様体上で定義される関数の、あるいは代数体を座や素点上の関数として見るときの「局所的な振る舞い」を記述すると考えられるものである。局所環およびその上の加群について研究する可換環論の一分野を局所環論と呼ぶ。

定義
環 R が局所環であるとは、以下に挙げる同値な条件を一つ（したがって全て）満たすもののことである[3]：

1.R は極大左イデアルを唯一つだけ持つ。
2.R は極大右イデアルを唯一つだけ持つ。
3.R において 1 と 0 が等しくなく、また R のどの二つの非可逆元の和も再び非可逆となる。
4.R において 1 と 0 が等しくなく、また x が R の元であるならば、x または 1 ? x のいずれかは必ず可逆である。
5.R の元の適当な有限和が単元となるならば、和の項となる元の中に単元が必ずある（特にもし、何も加えないという和を考えるなら、それは 0 を意味するのであって、いま 1 と異なるのであるから単元でない）。
6.R/J は可除環である。ただし J は R のジャコブソン根基を表す。
これらの性質が成り立つとき、唯一の極大左イデアルは唯一の極大右イデアルに一致し、またジャコブソン根基にも一致する。上記 3 番目の性質は局所環の非可逆元全体が真のイデアルをなし、したがってジャコブソン根基に含まれることを言っている。4 番目の性質は次のように言い換えることができる： R が局所環となる必要十分条件は、R に互いに素な二つの真の左イデアルが存在しないことである。ここで R の二つのイデアル I1, I2 が「互いに素」とは R = I1 + I2 が成立することである。

可換環の場合には、イデアルの左右・両側の区別をしないので、可換環が局所環である必要十分条件はその環が極大イデアルを唯一つ持つことである。

文脈によっては、局所環の定義に（左および右）ネーター性を仮定するものもある[4]。その場合には、ネーター性を持たないものを擬局所環、準局所環 (quasi-local ring) と呼ぶ（本項ではこれを区別しない）。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/492

493: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/21(金) 16:18:45 ID:sZPmTJOe

>>492

つづき

可換な例
可換（および非可換な）体は {0} を唯一の極大イデアルとする局所環である。

局所環に「局所」の名を冠する理由は次のようなものである。まず、実数直線上で 0 を含むある開区間において定義される実数値連続函数を考え、函数の 0 付近という局所での挙動のみに注目して、0 を含むある開区間（これはいくらでも小さく取って構わない）で一致するような函数を全て同一視する。この同一視というのは同値関係を成し、この同値類を 0 における実数値連続函数の芽（め、germ）または実数値連続函数芽（が）という。実数値連続函数の芽は通常の函数の値ごとの加法と乗法によって可換環をなす。

この連続函数芽全体の成す環が局所環であることを知るためには、函数芽の可逆性を定義する必要がある。函数芽 f が可逆であるとは f(0) が 0 でないこととする。これはつまり、f(0) が 0 でなければ、連続函数の性質から、0 を含む適当な開区間上で f が 0 にならず、したがってその区間上で g(x) = 1/f(x) という連続函数の芽を考えることができるという理由による。このとき fg は 1 に等しい。

この特徴づけで明らかなことは、非可逆な函数芽の和がやはり非可逆となるということであり、これによって函数芽の環が可換局所環であることを知ることができる。特にこの局所環の極大イデアルは f(0) = 0 を満たすような函数芽全体に一致する。

これと同じようなことは、位相空間とその上の一点と実数値連続函数から芽の環を考えることでもできるし、可微分多様体上に一点をとって、可微分写像から芽の環を考えても、あるいは点つきの代数多様体上の有理函数から芽の環を考えてもよいが、結果として、これらの芽の環は局所環となる[5]。またこれらの例は、代数多様体の一般化であるスキームが、どうして特殊な局所環付き空間として定義されるのかということの説明の一助となる。

体上の（一変数あるいは多変数の）形式冪級数環も局所環の例である[7]。極大イデアルは定数項を持たない冪級数全体である。（一方で体上の多項式環は局所環ではない[5]。）
(引用終り)
以上

追伸
可換だとジャコブソン根基関係ない
なので、ずっと簡単になります

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/493

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