[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/

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481: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/21(金) 11:41:28 ID:sZPmTJOe >>480 補足 （>>384より） https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1436721054 yahoo chi********さん2010/2/1419:08:37 環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。 この証明を教えて下さい。 (引用終り) 上記は、体は可換体で、イデアルは両側イデアルのことです。 証明の筋は、（Yahoo回答の通りで屋上屋だが） １）”体R→自明な両側イデアルしか持たない”で 　{0}でない、両側イデアルIで、Iの0でない元yが存在する 　体なので、yの逆元y^-1が存在する 　両側イデアルの定義より、積yy^-1＝1∈I （1は、乗法単位元で、Iは”1”を含むがキモ） 　1∈Iより、1R＝R⊂I。I⊂Rだから、I＝Rとなり、体は自明な両側イデアルしか持たない ２）”環R自明な両側イデアルしか持たない→体R”をいうには 　{0}でない、両側イデアルIで、仮定よりI＝R 　0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える。 　明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。したがって1∈(a)となる（Iは”1”を含むがキモ） 　よってRの元bが存在してab=1となる（(a)＝Rだから、任意のx,y ∈R でax＝y と必ずできるってこと。これが本質） 　（なお、bは逆元である。つまり、0でない元aに逆元が存在するが言えた） 　したがって、環Rは体である。 ３）以上より、環Rが体であることの必要十分条件は、 　”環Rが自明な両側イデアルしか持たないこと”である事が示された。 さて、 ”体R→自明な両側イデアルしか持たない”は、斜体（非可換）に拡張できる だが、逆の”環R自明な両側イデアルしか持たない→体R”は、非可換の場合には反例がある つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/481

482: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/21(金) 11:42:07 ID:sZPmTJOe >>481 つづき その反例こそ、何を隠そう、行列環 Mn(R) だ！（>>467など） 行列環 Mn(R) が、積で非可換は、いわずもがな 行列環 Mn(R) が、零因子を持つことも、いわずもがな つまり、行列環 Mn(R) は単純環であるけれども、斜体ではない ∵行列環 Mn(R) 零因子を含み、零因子は逆元を持てない！ 逆に、行列環 Mn(R) から、零因子を除けば、即ち斜体になる 行列環 Mn(R) 、零因子、逆元、斜体たちは、そういう関係なのです そして、「アルティン・ウェダーバーンの定理」から、これ結構普通＊） 環における逆元の存在と零因子が無関係などと、勘違いｗ（>>371など） ああ勘違い。アホの上塗り、勘違い 自分の失言を誤魔化そうと、 他人を攻撃して、自爆してりゃ、世話がないｗ（＾＾； ＊）注 >>467などご参照。なお、”Mni(Di) の直積”ってところが、零因子と零因子以外の直積の正体（これキメラでしょ）が、いまいち理解できてないので、”普通”とお茶濁す（＾＾ 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/482

497: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/21(金) 18:56:20 ID:5VB2YcFE >>481 （◆yH25M02vWFhP 第一の自爆） http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1436721054 >環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。 正しくは「可換環R」 以下の「証明」を読んで理解したなら、 そのことに気づけるはずだが 君は、理解できなかった、と >aから生成される単項イデアル(a)を考える。 >明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。 >したがって1∈(a)となる ここまでは非可換環でもOK し・か・し >よってRの元bが存在してab=1となる ここが、非可換環ではNG 可換環なら、両側からRの元を掛けている場合も 「可換性」によって、例えば右側に寄せられる そうしてしまえば、ac+ad=1の場合も a(c+d)=1となるから、(c+d)がaの逆元だといえる ゆえに「Rの元bが存在してab=1」と言い切れる し・か・し・・・ 非可換環の場合、例えばlarを、arlとかrlaとかにすることができない したがって (l1)a(r1)+(l2)a(r2)=1 だからといって、そこから a(r1l1+r2l2)=1 とすることができない こんなの、数学科卒なら分かるが 素人は論理的思考力がないから 指摘されるまで絶対気づけない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/497

515: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/21(金) 20:44:30 ID:WrfyH/cJ >>497 >正しくは「可換環R」 ああ、失礼 その積もりだったよ まじで、>>481は、全部可換です まあ、院試だったら、減点だろうな 皆さん、気を付けましょうｗ（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/515

547: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 10:18:54 ID:qg6YAvVW >>528 補足 >数学に王道無しというが、王道は無くても、正道はあるとおもう >正道とは、自分に適した道のこと さて、下記の問題で、 (>>378) >実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。 もう一度、この問題のまとめを しよう 大体は、>>463と>>481に書いたけど、証明の方針は、下記の「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである」に同じ （蛇足だが、{0}（零0から成るイデアル）と、環R全体から成るイデアルを、自明なイデアルという） ＜チャート式風考察＞（＾＾； １．問題文の「イデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ」から、Mn(R)と{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして、Iの性質を調べるという筋が浮かぶ 　背理法で、「Mn(R)と{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして」から、矛盾（実はI＝R）でも良いし 　背理法を避けて、「{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして」でも良い 　要は、「（中間の）イデアルI」に思い至ること ２．イデアルの知識として、乗法単位元1が、イデアルIに含まれると、I＝Rとなることを知っておく、1∈I →I＝R 　（いまの場合、単位行列E∈I を示すという方針になる） 　これは、1∈I→1R⊂I から出る ３．上記で既に言及しているが、I＝Rという等号は、”I⊂R ＆ R⊂I”に分けて証明することが多い 　（余談だが、これは不等式で、I＝Rという等式を、”I>=R ＆ R=<I”に分けて証明するのに類似） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/547

736: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/27(木) 07:45:18.38 ID:nLHDH0VU >>724 追加 (引用開始) Notes 7^ Grillet, Pierre Antoine. Abstract algebra. Vol. 242. Springer Science & Business Media, 2007; a proof can be found here https://planetmath.org/ringswhoseeverymoduleisfree rings whose every module is free Author joking (16130) Last modified on 2013-03-22 (引用終り) これ読んだ。疑問氷解！ ”Thus the only left ideals in R are 0 and R. Now let x∈R. Then Rx=R, so there exists β∈R such that βx=1. Thus every element is left invertible. But then every element is invertible. Indeed, if βx=1 then there exist α∈R such that αβ=1 and thus 1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ, so x is right invertible. Thus R is a divison ring. □” なるほど、 ”every element is left invertible. Indeed, if βx=1 ”を言って 　↓ ”then there exist α∈R such that αβ=1”が言えて 　↓ ”1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ, so x is right invertible. Thus R is a divison ring. ” と繋がるんだね βx=1とか、αβ=1とかを取ってくるのが、証明のキモだ あと、”Now let x∈R. Then Rx=R, so there exists β∈R such that βx=1.”もうまい。 これ、>>481 の”　0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える。 明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。”に類似している >>481でも、ここから”したがって1∈(a)となる（Iは”1”を含むがキモ）”を導いたんだ （上記、”let x∈R. Then Rx=R” と、”0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える”とが、類似） チャート式風でいえば、”0でない元を取る”ですね ”then there exist α∈R such that αβ=1”が言えて 　↓ ”1=αβ=α(βx)β=(αβ)xβ=xβ, so x is right invertible. Thus R is a divison ring. ” も、頻出テクっぽいな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/736

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