[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/

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442: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/19(水) 19:51:26 ID:hEWQC19/ >>429 >イデアルIの内部では、行列加法の群が成立つので >klの組を集めて、その和から単位行列Eができる >E∈ I 成立 >イデアルの定義から >ER＝R つまり、R⊂Iで、I⊂RだからI＝Rです アタマ固いね >>431 >証明の方針は >４．・・・aij ≠ 0 なる成分を持つ行列Aを使って、単位行列 E ∈ I を導けば、I＝Rが導ける ほんとアタマ固いね そもそも 「行列単位をすべて集めたもの {Eij} i,j=1〜n は, ベクトル空間 Mn(K) の基底」 なんだから、 「あるEklについて、Ekl∈Iなら、任意のEijについてEij∈I」 が言えた時点で、Eijの線形結合として表せるものは全てIの要素 そして、Rの任意の要素はEijの線形結合として表せるからR=Iだろ 君は、基底知らんのか？ 体は、体上一次元の線形空間で、単位元１はその基底だから １∈Iが言えればいい、 「単位元がIの要素」を一般化するんじゃなくて 「基底がIの要素」を一般化したと思ったほうがいい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/442

494: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/21(金) 17:11:36 ID:sZPmTJOe >>467 補足 (抜粋) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 斜体 (数学) 性質・諸概念 逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。 (引用終り) これ、再度強調しておくと 「逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない」 ってこと この、乗法単位元 1D を含む、つまり、1D∈I が、重要キーワードで、キモなのです （>>442） ”「行列単位をすべて集めたもの {Eij} i,j=1〜n は, ベクトル空間 Mn(K) の基底」 なんだから” の批判は、全くの的外れです 本当は、単位行列 E ∈I を作れば良い {Eij} i,j=1〜n の全ては不要です 対角成分 {Eii} i=1〜n だけ作って その和を集めれば、良いのです （”その和を集めれば”は、部分加群であることから出る（イデアル定義より）） ただ、証明の都合で、対角成分 {Eii} i=1〜n だけで良いところが {Eij} i,j=1〜n の全てが出来てしまっただけなのです（＾＾ 前者の”単位行列 E ∈I を作れば良い”は、まさに上記”斜体”の重要キーワードの通りです ここから、普通に、Eの対角成分 → {Eii} i=1〜n を 構成する筋は、容易に思いつくことでしょう だから、”単位行列 E ∈I を作れば良い”の方が、証明の方針として、自然な流れなのです かつ、行列環に限られない、応用範囲の広い考えなのです ところが、”「行列単位をすべて集めたもの {Eij} i,j=1〜n は, ベクトル空間 Mn(K) の基底」” は、行列環以外では、適用できない 狭い考えなのです（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/494

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