純粋・応用数学（含むガロア理論）3

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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434: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/19(水) 16:01:36 ID:bglsLP4c

>>423
>>体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。
>>そんな入門レベルすら分からずに
>また、おサルのアホ伝説が、また一つできたなｗ（＾＾；

なるほど なるほど、下記の雪江明彦 「私の教科書の用語について」が参考になるかも
”永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思う”
だって
なるほどね

なお、”ScienceDirect Commutative Field” ”Handbook of Algebra”1996 で
”each (not necessarily commutative) field is a semifield”という用法もあるね
「用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう」（下記 雪江明彦より）

また、下記”Field Theory by Wulf-Dieter Geyer”の ”2. Historical remarks about the concept of field”が、面白かった

（参考）
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/yougo.pdf
私の教科書の用語について 雪江明彦 2012/7/7
代数の教科書を書いたとき，用語については大変迷った. 自分なりの結論をここで書いておく.

2. 「可除環」か「斜体」か
最初に代数の教科書を書いたとき，3 巻全部書いて出版社に送ったのだが，最初の2 巻が出た後，
3 巻目を出すときになって，これだけの量を書いて
「ヴェーダーバーンの定理」について書いてないのはおかしいと思って書き足した. それまでは可換体し
か扱うつもりがなかったので，「体」，「可換体」で, しかし可換体のことを「体」と呼ぶことにしたが，
3 巻で「必ずしも可換でない体」の呼び方が必要になったので，1，2 巻を増刷したときに
ここで用語を変えなかったらもう変えられないと思って初版第1 刷を買われた方には申し訳ないと思ったが
用語を変えることにした. さて「必ずしも可換でない体」のことを何と呼ぼう?

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/434

435: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/19(水) 16:02:39 ID:bglsLP4c

>>434
つづき

桂では「斜体」と呼んでいるが，
この用語を使う気にはなれなかった. それは英語にしたとき，「ヴェーダーバーンの定理」の状況
では division ring, division algebra が完全に定着しているから. 「斜体」を英語にし
たら「skew field」だろうが，ヴェーダーバーンの定理とかブラウアー群などについて
語るとき skew field という用語を使うことはないだろう. これが英語で division ring
なら「可除環」がよいだろうと思った.

永田の可換体論では体，可換体という用語だ
が，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっ
ていると思うので，可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と
呼ぶことにした. いずれにせよ，1,2 巻ではほとんど「体」しか出てこないので，
問題になるのは 3 巻の補足に入ってから. そのときは「可除環」とした理由がわかって
もらえるのではないだろうか.

用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう.

https://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1309-8.htm
数学選書6　可換体論 （新版）京都大学名誉教授　理博　永田雅宜 著 1985年3月発行
（初版刊行から18年経ち，その後の進歩に伴ない，内容の加筆・訂正すべき点がでてきた．そこで1985年に全面的に書き改めたものが“新版”である．）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/36/2/36_2_157/_pdf/-char/ja
（体の話ではないが）可換環論の50年 永田雅宜 (1983年9月28日 提出) 数学

https://kotobank.jp/word/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6-97289
コトバンク
抽象代数学
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説

代数系を公理論的に取扱って，その一般的理論を追究する数学の一部門が抽象代数学で，D.ヒルベルトの公理主義に端を発し，E.シュタイニッツの体の理論で開花し，現代数学の花形となった。日本では，園正造のイデアル論や高木貞治の類体論が世界的にすぐれた研究として知られている。
いまでは，単に代数学といえば，抽象代数学のことである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/435

448: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/20(木) 00:23:05 ID:gmO23IhH

>>434 補足

”斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。”

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)

斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。

性質・諸概念
逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。

斜体であるという性質は加群の圏の性質から特徴づけることもできる。環 R が斜体である必要十分条件はすべての左 R 加群が自由加群であることである[5]。

例
・有理数の全体 Q, 実数の全体 R, 複素数の全体 C は可換体である。
・四元数の全体 H は非可換体である。
・既約加群の自己準同型環は斜体である（シューアの補題）。
・（可換とは限らない）有限整域は可換体である（ウェダーバーンの小定理）。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/448

467: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/21(金) 07:32:22 ID:WrfyH/cJ

>>448 補足
(抜粋)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
性質・諸概念
逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。
(引用終り)

これ、下記アルティン・ウェダーバーンの定理が参考になるな
「可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型である」
　>>434にある 雪江明彦 3 巻目 「ヴェーダーバーンの定理」がこれ
手元の雪江本では、P350の定理7.5.15ですな （殆ど読んでないけど（＾＾ ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アルティン・ウェダーバーンの定理
(抜粋)
定理の主張
定理は、（アルティン）[注釈 1]半単純環 R はある有限個の ni 次行列環 Mni(Di) の直積に同型であると述べている[1]。ここで ni は正の整数、 Di は可除環であり、 両者とも添字 i の置換を除いて一意的に決定される。とくに、任意の単純左または右アルティン環は可除環 D 上の n 次行列環に同型で、n と D は両方とも一意的に決まる[2]。

直接の系として、アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型であることを意味する。これはもともと J. H. M. Wedderburn (1908) の結果である。E. Artin (1927) は後にそれをアルティン環のケースに一般化した[注釈 2]。

R が可除環 E 上の有限次元単純代数であれば、D は E に含まれる必要はないことに注意せよ。例えば、複素数体上の行列環は実数体上の有限次元単純代数である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/467

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