[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/

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428: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/19(水) 07:54:59 ID:BSgO+qBk >>415 補足 (引用開始) http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/main/index.html 代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日 問 25.R を C 上 2 次全行列環 M2(C) とする。また Eij で (i,j) - 成分のみが 1 で他の成分がすべて 0 である R の元を 表すことにする。 (3) Eij で生成される R の (両側) イデアル、すなわち REijR を求めよ。 (4) R のイデアルは 0 と R 以外にないことを示せ。 ( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。) 解答 (3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して E = Eki Eij Ejl ∈ REij R となるので REijR = R である。 (4) I を R の 0 でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I とすると、ある aij は 0 ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I なので I = R である。 問 26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。 解答 問25 (4) と同様である。 (引用終り) 補足 https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/lin1/L1.pdf 線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治 (抜粋) P1 (i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位という 問題 1 (1pt.) 行列単位をすべて集めたもの {Eij}^n i,j=1 は, ベクトル空間 Mn(K) の基底であることを示せ. P2 問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 {Eij}^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ: EijEkl = δj,k Eil. つまり二つの行列単位を掛けると, 真ん中の二つの文字が異なれば 0 になり, 同じであればそれが縮約された行列単位になる. (引用終り) （補足）EikEkl = Eil ってこと。k≠i なら0（零行列）です あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です よって、aij^-1 EkiAの部分は、Ekjです 従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる klの組は、任意 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/428

429: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/19(水) 07:55:23 ID:BSgO+qBk >>428 つづき イデアルIの内部では、行列加法の群が成立つので klの組を集めて、その和から単位行列Eができる E∈ I 成立 イデアルの定義から ER＝R つまり、R⊂Iで、I⊂RだからI＝Rです QED なるほど、行列単位Eijを使うのがキモですな それを使って、 「 0 ≠ A = (aij) ∈ I とすると、ある aij は 0 ではない」から 任意の行列単位Eklが、行列の積を使って構成できる。行列の積がキモ あとは、いろいろあるだろう 上記の単位行列Eを構成するのも分り易いかな （＾＾ 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/429

430: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/19(水) 10:08:15 ID:bglsLP4c >>428 >従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる ここ、EkiAEjｌ の３つの行列の積で、結合則を使っている（当たり前だが意識しておく方が良い） また、EkiAEjｌ の３つの行列の積で、A ∈ I に対して、左右から、EkiとEjｌとを掛けている。 Iが両側イデアルなら、EkiAEjｌ ∈ I だ。 が、両側イデアルでないなら、”EkiAEjｌ ∈ I ”は、保障されないってことだね （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 環 (数学) 厳密な定義 乗法半群 (R,*) はモノイド（あるいは半群）である 2.乗法の結合性：任意の a, b, c ∈ R に対して (a * b)* c = a *(b * c) が成立する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/430

431: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/19(水) 11:20:11 ID:bglsLP4c >>428 補足 (引用開始) ( 0 と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。) 問 26．K を体 (例えば C ) とする。 K 上 n 次全行列環 Mn(K ) は単純環であることを示せ。 (引用終り) 蛇足だが、証明の方針は １．{0}以外のイデアルIの存在を仮定する ２．仮定より、 A ∈ I で A≠0（零行列）なる行列Aが存在する ３．行列Aには、aij ≠ 0 なる成分が存在する ４．このaij ≠ 0 なる成分を持つ行列Aを使って、単位行列 E ∈ I を導けば、I＝Rが導ける 　このときに使えるのが、 　R中に存在する行列（ここにはいろんな部品が落ちている） 　と、積（R中の行列とAの積が、イデアルIに入る）。両側イデアルを仮定すると、Rの行列を左右から掛けることができる。 　aij^-1 EkiAEjｌ＝Ekl の式 から分かるように、左から掛ける Ekiのkで行の位置kの調整、右から掛けるEjｌで列の位置ｌの調整ができる 　行列単位 Eklが任意にできれば、対角成分を持つものの和 E11+E22+・・・+Enn →E（単位行列）ができる 　単位行列 E∈ I から、I＝R そういう流れですね この流れは、行列環以外でもほぼ同じで、 ”Rが体のときに単純環になる”という証明も同じ方針ですね （体の話は、行列よりずっと簡単で、A≠0（数として零）から、即体で逆元の存在が言えて、単位元 1 ∈ Iが言えます） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/431

438: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/19(水) 16:22:53 ID:bglsLP4c >>428 タイポ訂正 従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる 　↓ 従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEjl＝Ekl が導かれる です。まあ、元々が 花木 解答 (4) の（>>428） ”Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I”なので、分かると思うが（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/438

440: １３２人目の素数さん [] 2020/08/19(水) 19:02:05 ID:4a1fOPiB >>428 間違い 君は自分で解かず（解けず）カンニングした解答から逆推測してるだけ 案の定その推測は間違っている カンニングしても間違うようじゃ数学は無理なので諦めましょう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/440

441: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/19(水) 19:50:34 ID:hEWQC19/ >>428 >(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2 に対して >E = Eki Eij Ejl ∈ REij R >となるので REijR = R である。 引用が間違ってるね　粗雑だね 誤　E = Eki Eij Ejl ∈ REij R 正　Ekl = Eki Eij Ejl ∈ REij R >問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 {Eij}^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ: >EijEkl = δj,k Eil. >（補足）EikEkl = Eil ってこと。k≠i なら0（零行列）です 補足が間違ってるね　粗雑だね 誤　k≠i なら 正　k≠j なら http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/441

444: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/19(水) 20:01:05 ID:hEWQC19/ >>428 > {Eij}^n i,j=1 idiot !!! http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/444

454: １３２人目の素数さん [] 2020/08/20(木) 06:31:04 ID:XKBeWolE >>452 ＞そんなケアレスミスとは違う大間違いをやらかしてることに ＞未だ気付かない瀬田くん これか >>428 ＞あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで ＞EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で ＞それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です 否　正しくは 「行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の列が0となる行列」 その上で上記行列に右からEjlを掛けると、以下のようになる 「k行目j列目の値（元のaij)だけが抜き出されてl列目に転写され、 　他が0となる行列」 この瞬間、◆yH25M02vWFhPは行列計算ができない高卒だと確定したな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/454

463: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/20(木) 21:21:21 ID:gmO23IhH >>428 訂正 訂正しときます （訂正のみ書くよ） （補足） ・行列単位の積 EikEkl = Eil となる（なおEik等は、行列単位で、(i, k) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列（下記戸松ご参照）） ・上記同様だが、下記花木の問 25(4)で 　0 ≠ A = (aij) ∈ I でのEkiAEjｌ 　を考える（なお、0 ≠ Aより、一般性を失うことなく、あるaijで aij≠0と仮定することができる） 　前半の積EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で 「積EkiAは、行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の"行”が0となる行列」となる（>>459） 　（つまり、0ではない成分aijは、(k, j)の位置へ移る） ・同様に、任意の行列 B = (bkj) で、 　「積BEkl は、行列Bのj列目が抜き出されでｌ列目に転写され、その他の"列”が0となる行列」である（上記同様である） 　（つまり、B＝EkiAを考えると、上記(k, j)の位置のaijは、(k, ｌ)の位置へ移る） ・結局、aijを、任意に選んだ(k, ｌ)の位置に移すことができる ・仮定よりaij≠0だから、これに逆数 aij^-1を掛けて 　aij^-1 EkiAEjｌ ＝Ekl が導かれる ・klの組は、任意に選べるから、一つのaij≠0なる要素から、任意の行列単位Ekl が導かれ、イデアルI内の行列 A = (aij) ∈ I から積のみを使って導かれるので 　イデアルI内に、任意の行列単位 Eklが存在する、つまり Ekl ∈ Iとなる ＜なお参考に下記を再録しておく＞ http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/main/index.html 代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日 （問 25 26の解答ご参照） https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/lin1/L1.pdf 線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治 (抜粋) （P1〜2の「(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位」の説明ご参照） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/463

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