純粋・応用数学（含むガロア理論）3

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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415: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/18(火) 21:04:51 ID:aMkYF6+a

>>413
(引用開始)
で、同じ筋で、>>385 「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして （ここに{0}は、零行列）
E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな（>>385のyahoo記事回答より）
E∈Iが言えれば、上記と同じように、I＝行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）となるから（＾＾
(引用終り)

おなじみ、花木章秀先生
問題は、下記の問26で、解答は 25の(4) に同じ
解答 25の(4) は、”0 ≠ A = (aij) ∈ I  ”で”ある aij  は 0  ではない”。これを使って、Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I  なる行列を構成している。
行列Ekｌ が構成できるから、 I = R か
単位行列とは、ちょっと違う筋だね

http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/
環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/files/algex_3.pdf
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
（下記に同じ）
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/main/index.html
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日

問
25.R  を C  上 2  次全行列環 M2(C)  とする。また Eij  で (i,j) - 成分のみが 1  で他の成分がすべて 0  である R  の元を 表すことにする。
(3) Eij  で生成される R  の (両側) イデアル、すなわち REijR  を求めよ。
(4) R  のイデアルは 0  と R  以外にないことを示せ。 ( 0  と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)

解答
(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2  に対して
E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
となるので REijR = R  である。
(4) I  を R  の 0  でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I  とすると、ある aij  は 0  ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2  に対して
Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I
なので I = R  である。

問
26．K  を体 (例えば C ) とする。 K  上 n  次全行列環 Mn(K )  は単純環であることを示せ。
解答
問25 (4) と同様である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/415

428: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/19(水) 07:54:59 ID:BSgO+qBk

>>415 補足
(引用開始)
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/main/index.html
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
問
25.R  を C  上 2  次全行列環 M2(C)  とする。また Eij  で (i,j) - 成分のみが 1  で他の成分がすべて 0  である R  の元を 表すことにする。
(3) Eij  で生成される R  の (両側) イデアル、すなわち REijR  を求めよ。
(4) R  のイデアルは 0  と R  以外にないことを示せ。 ( 0  と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
解答
(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2  に対して
E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
となるので REijR = R  である。
(4) I  を R  の 0  でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I  とすると、ある aij  は 0  ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2  に対して
Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I
なので I = R  である。

問
26．K  を体 (例えば C ) とする。 K  上 n  次全行列環 Mn(K )  は単純環であることを示せ。
解答
問25 (4) と同様である。
(引用終り)

補足
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/lin1/L1.pdf
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
P1
(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位という
問題 1 (1pt.) 行列単位をすべて集めたもの {Eij}^n i,j=1 は, ベクトル空間 Mn(K) の基底であることを示せ.
P2
問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 {Eij}^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ:
EijEkl = δj,k Eil.
つまり二つの行列単位を掛けると,
真ん中の二つの文字が異なれば 0 になり,
同じであればそれが縮約された行列単位になる.
(引用終り)

（補足）EikEkl = Eil ってこと。k≠i なら0（零行列）です
あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です

よって、aij^-1 EkiAの部分は、Ekjです
従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる

klの組は、任意

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/428

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