[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/

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389: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/17(月) 23:57:35 ID:TRrMkJI/ >>383 補足 http://www.is.c.titech.ac.jp/~sakie/sakietech/jiao_yu_files/00_%E4%BB%A3%E6%95%B0.pdf 代数系 鈴木　咲衣 2019 年 11 月 30 日 >定義 6.2.2 (イデアル). 環 R において，次の性質を満たす空でない部分集合 I をイデアルと呼ぶ． >(1) R の加法について，I は群になる． >(2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I. そうか なるほど 鈴木　咲衣ちゃん 「(2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I.」だから、この定義は両側イデアルなんだね（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/389

396: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/18(火) 07:19:07 ID:aMkYF6+a >>389 補足 下記の 「・Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。すなわち、R の各イデアル I に対して、成分を I にもつすべての n×n 行列の集合は Mn(R) のイデアルであり、Mn(R) の各イデアルはこのように生じる。これが意味するのは、Mn(R) が単純環であることと R が単純環であることは同値である。n ? 2 に対して、Mn(R) のすべての左あるいは右イデアルが前の構成によって R の左または右イデアルから生じるわけではない。例えば、2列目から n 列目まですべて 0 の行列の集合は Mn(R) の左イデアルをなす。」 だな、あと”森田同値” 基本だね 不勉強なので、おれにとっては、基本ではないがね（＾＾； （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0 行列環 (抜粋) 構造 ・Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。すなわち、R の各イデアル I に対して、成分を I にもつすべての n×n 行列の集合は Mn(R) のイデアルであり、Mn(R) の各イデアルはこのように生じる。これが意味するのは、Mn(R) が単純環であることと R が単純環であることは同値である。n ? 2 に対して、Mn(R) のすべての左あるいは右イデアルが前の構成によって R の左または右イデアルから生じるわけではない。例えば、2列目から n 列目まですべて 0 の行列の集合は Mn(R) の左イデアルをなす。 ・上のイデアルの対応は実は環 R と Mn(R) は森田同値であるという事実から生じる。雑に言えば、これが意味するのは、左 R 加群の圏と左 Mn(R) 加群の圏は非常に似ている。このために、左 R-加群と左 Mn(R)-加群の 同型類 の間と、R の左イデアルと Mn(R) の同型類の間には、自然な全単射の対応が存在する。同様のステートメントは右加群と右イデアルに対しても成り立つ。森田同値を通して、Mn(R) は森田不変な R のどんな性質も引き継ぐ。例えば、単純、アルティン、ネーター、素、そして森田同値の記事において与えられているように多数の他の性質。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/396

400: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/18(火) 10:34:46 ID:6E5Q9lbT >>399 Tさんかな？ いまだに時枝が理解できない粘着さん ずっと以前に、名前の議論は、私はしないと言ったはず 覚えているかい？ 見ず知らずのだれか他人に迷惑をかけるかもしれないからね 君もつまらん、名前の議論は止めるがいい もっとも、自分は、別に時枝にしろ、正方行列の成す群にしろ、零因子と逆元の関係にしろ、間違ってはいないから、特定されたところでなんの痛痒も感じないがね ところで、本題だが １．単に群と言ったとき、群は基本非可換であり、非可換と可換とを含む名称とされる場合が普通。可換の場合は、そういわなければならない ２．その流れで、単に環と言ったとき、環は非可換と可換とを含む名称とされる場合が普通。可換の場合は、そういわなければならない ３．イデアルもまた同じだ。環は非可換と可換とを含む。だから、イデアルも、左右の区別をするのが普通だ 　単に、イデアルと言った場合には、右側と左側と両側の３者を含む、総称を意味するのが普通です 　そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が内範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある 　しかし、断らずに、両側イデアルを単にイデアルと書くのは如何なものか（そういうテキストや論文は見たことが無い） 　そして、今回は特に問題文だ。問題文「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」 　において、但し書き”イデアルは両側イデアルのこと”のような断りを書きを落とすと、それは余計にまずいぞ ４．鈴木　咲衣ちゃん>>389の書き方も、問題ありだな。これ、東工大の初学者向けの講義テキストみたいだが 　鈴木　咲衣ちゃんのテキストで学んだ学生が、ハナタカで「体には自明なイデアルしかない」（>>383）と言ったら、「おまえ、それ本当は両側イデアル」とか言われ、赤っ恥にならないとも限らない 　ちょっと、教育的配慮に欠けると思うよ。まだ若いな、鈴木　咲衣ちゃん 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/400

420: １３２人目の素数さん [] 2020/08/18(火) 21:52:07 ID:pfu+OVXc >>400 （続き） >４．鈴木　咲衣ちゃん>>389の書き方も、問題ありだな。これ、東工大の初学者向けの講義テキストみたいだが >　鈴木　咲衣ちゃんのテキストで学んだ学生が、ハナタカで「体には自明なイデアルしかない」（>>383）と言ったら、「おまえ、それ本当は両側イデアル」とか言われ、赤っ恥にならないとも限らない >　ちょっと、教育的配慮に欠けると思うよ。まだ若いな、鈴木　咲衣ちゃん 体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。 そんな入門レベルすら分からずに >教育的配慮に欠けると思うよ。まだ若いな と上から目線しちゃう瀬田くんこそ赤っ恥ですねー。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/420

556: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 10:41:51 ID:qg6YAvVW >>551 >だから可換環だっちゅーにｗ　学習せん奴やのうｗ >非可換環では反例が存在することをまさにいま見たばっかりだろｗ そうそう、下記の鈴木　咲衣ちゃん はっきり、可換の場合とうたった方が良いと思う ここでは、可換の場合のみ扱うと宣言して このテキストでは、イデアルは、両側イデアルを意味すると、一言いっておく (>>389より) http://www.is.c.titech.ac.jp/~sakie/sakietech/jiao_yu_files/00_%E4%BB%A3%E6%95%B0.pdf 代数系 鈴木　咲衣 2019 年 11 月 30 日 P30 6.2 イデアルと剰余環 定義 6.2.2 (イデアル). 環 R において，次の性質を満たす空でない部分集合 I をイデアルと呼ぶ． (1) R の加法について，I は群になる． (2) 任意の a ∈ I と c ∈ R について，ca ∈ I, ac ∈ I. R 自身，および {0} は明らかにイデアルである．これらを自明なイデアルという． 練習 23. 体には自明なイデアルしかないことを示せ． http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/556

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