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純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
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384: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/17(月) 23:22:00 ID:TRrMkJI/ >>383 追加 オチコボレさんのためにｗ（＾＾； https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1436721054 yahoo chi********さん2010/2/1419:08:37 環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。 この証明を教えて下さい。 よろしくお願いします https://ameblo.jp/2217018/entry-12509153768.html メモ書き ピグの部屋 ペタ 体は自明なイデアルしか持たない 2019-08-20 02:25:39 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/384
385: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/17(月) 23:28:33 ID:TRrMkJI/ >>384 >実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。 おっと、こっちかい？ 両側イデアルとなっているけどな〜ｗｗｗｗｗｗｗｗ https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1019988015 yahoo eqe********さん2008/10/1823:04:53 行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであることを証明する問題です。お願いします。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/385
481: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/21(金) 11:41:28 ID:sZPmTJOe >>480 補足 （>>384より） https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1436721054 yahoo chi********さん2010/2/1419:08:37 環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。 この証明を教えて下さい。 (引用終り) 上記は、体は可換体で、イデアルは両側イデアルのことです。 証明の筋は、（Yahoo回答の通りで屋上屋だが） １）”体R→自明な両側イデアルしか持たない”で {0}でない、両側イデアルIで、Iの0でない元yが存在する 体なので、yの逆元y^-1が存在する 両側イデアルの定義より、積yy^-1＝1∈I （1は、乗法単位元で、Iは”1”を含むがキモ） 1∈Iより、1R＝R⊂I。I⊂Rだから、I＝Rとなり、体は自明な両側イデアルしか持たない ２）”環R自明な両側イデアルしか持たない→体R”をいうには {0}でない、両側イデアルIで、仮定よりI＝R 0でない元aを取る。aから生成される単項イデアル(a)を考える。 明らかに(a)≠(0)だから、(a)＝Rとなる。したがって1∈(a)となる（Iは”1”を含むがキモ） よってRの元bが存在してab=1となる（(a)＝Rだから、任意のx,y ∈R でax＝y と必ずできるってこと。これが本質） （なお、bは逆元である。つまり、0でない元aに逆元が存在するが言えた） したがって、環Rは体である。 ３）以上より、環Rが体であることの必要十分条件は、 ”環Rが自明な両側イデアルしか持たないこと”である事が示された。 さて、 ”体R→自明な両側イデアルしか持たない”は、斜体（非可換）に拡張できる だが、逆の”環R自明な両側イデアルしか持たない→体R”は、非可換の場合には反例がある つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/481
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