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純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
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350: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/16(日) 20:22:19 ID:0IMtsn2Y >>348-349 補足 ＜行列式の視点から、行列では「可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たない」は、簡単に見える＞ まず、下記を３点を認めましょう ・det(AB) = det(A) det(B). ・逆行列 A^-1で、det(A^-1) = 1/det(A) ・（逆行列の一意性）：A^-1 が存在すれば，AX = E を満たす行列 X は A^-1 でなければならない この３点を認めると １）零因子とは、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0 となるもので ２）逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E（単位行列、1とも書く） だから、１）と２）とが、同時には成り立つと ・AX＝0に、左から逆行列A^-1を掛けて、 ・A^-1AX＝0→X＝0となる。これは、 X≠0に矛盾 ・よって、「１）と２）とは、同時には成り立たない」は、ほぼ自明です そもそも、”零因子AX＝0”と、”逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E”とは、水と油みたいなものです（＾＾ 行列Aで、逆行列の存在と、零因子AX＝0の成否とが、 密接に関連していることは、 大学の数学教程を学べば常識でしょうね〜ｗｗ（＾＾； （>>332より） https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13168979413 数学の代数学について sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo 可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/350
352: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/16(日) 21:43:38 ID:0IMtsn2Y >>350 補足 そうそう、行列式でしたね（＾＾； １）零因子とは、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0 となるもので ２）逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E（単位行列、1とも書く） ↓ これを、行列式で書くと １）零因子なら、｜A｜｜X｜＝0（数の零）、但し A≠0、X≠0 ２）逆行列 ｜A｜｜A^-1｜＝1（数の1） で ・｜A｜｜X｜＝0より、｜A｜＝0 又は｜X｜＝0 （両方0もある） ・｜A｜｜A^-1｜＝1 より、｜A｜≠0であり、上記より｜X｜＝0 が出ます さて、”｜A｜≠0なら、Aは逆行列を持つ”を認めると >>350で示した通り AX＝0に、左から逆行列A^-1を掛けて、(A^-1A)X＝0→X＝0となり、これは、 X≠0に矛盾 一方、AX＝0（零行列）、但し X≠0 を認めるなら 行列Aは逆行列を持てず、即ち、｜A｜＝0にならざるを得ない つまり、「零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0」 なら、｜A｜＝｜X｜＝0 成立です たったこれだけのことですが、 ”行列式”というメガネを通すと、すっきり見えてくる部分が多いのです そして、正方行列Aで、行列式｜A｜＝0なら、逆行列を持つことができず（∵”｜A｜｜A^-1｜＝1”が不成立だから） 逆行列を持てば、｜A｜≠0であり、”零因子、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0” には、成れないず、よって零因子も持てない＆成れない が、すっきり見えてくるでしょう！ （＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/352
354: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/17(月) 06:59:49 ID:lbRpX4Uh >>348-353 肝心なことが分かってませんね 今、あなたに対して指摘されているのは 「逆行列を持てば零因子ではない」ではなく 「逆行列を持たなければ零因子」に対する あなたの証明の誤りです つまり行列Aについて A≠O かつ |A|=0 というだけでは、余因子行列~Aについて A~≠O とはいえない、ということ これ 余因子が分かっていたら明らかですよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/354
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