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純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
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348: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/16(日) 19:44:12 ID:0IMtsn2Y >>200 補強 (引用開始) １．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合） （上記１を式変形して） ２．A・t[Aij] ＝|A| （正則行列を含む全正方行列の場合） ３．正則行列とは、|A|≠0 （行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る） つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、 上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです 逆に言えば、上記3つの要点を理解せずして、 ”正則とは何ぞや”を理解したとは言えない (>>184より) https://oguemon.com/study/linear-algebra/inverse-matrix/ 大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com 【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722 (引用終り) 追加参考 http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/ToshizumiFukui.html 福井 敏純 埼玉大学 大学院理工学研究科 数理電子情報専攻 数学コース http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/ 講義関連 福井 敏純 http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/Linear_algebra.pdf 線形代数学講義ノート 福井 敏純 2020 年 3 月 23 日 (抜粋) P20 1.2.4 逆行列 AX = E を満たす行列 X を A の逆行列 (the inverse matrix of A) といい A^-1 で表 す．A^-1 が存在するとき，A は可逆である (invertible) という．Y A = E を満たす行列 Y が存在すればそれは X に等しい． Y = Y (AX) = (Y A)X = X A^-1 が存在すれば，AX = E を満たす行列 X は A^-1 でなければならない（逆行列の一意性）． X = EX = (A^-1A)X = A^-1(AX) = A^-1E = A^-1 実は AX = E をみたす行列 X が存在すれば，XA = E を満たす事*3を後で示す． 逆行列をもつ行列を正則行列 (a regular matrix) という． 例 1.2.9. 可逆な行列 Z が冪等性（即ち Z^2 = Z）を満たすならば Z は単位行列である． Z = (Z^2)Z^-1 = ZZ^-1 = E となるからである． *3 Z = XA が可逆ならば Z^2 = XAXA = XA = Z なので XA = Z = E がわかる． つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/348
349: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/16(日) 19:45:18 ID:0IMtsn2Y >>348 つづき 定理 1.2.12 (積の逆行列). 正方行列 A, B に逆行列 A^-1 , B^-1 が存在するとき積 AB に も逆行列が存在し，それは次で与えられる． (AB)^-1 = B^-1A^-1 第 2 章 行列式 27 P42 2.3.3 余因子行列 定理 2.3.7 正方行列 A に対し，AA* = A*A = det(A)E を満たす行列 A* が存在する．余因子行列である． 定理 2.3.6. AA* = A*A = det(A)E 証明 略 系 2.3.7 (行列の逆転公式). 正方行列 A が det(A) ?= 0 を満たせば逆行列 A^-1 が存在し それは次式で与えられる． A^-1 =1/det(A) A* 証明. AA* = A*A = det(A)E を det(A) で割れば良い． P44 2.4 積の行列式 2.4.1 積の行列式 行列式に関する次の定理は基本的である． 定理 2.4.1 (積の行列式). n 次正方行列 A = (ai,j ), B = (bj,k) に対し det(AB) = det(A) det(B). 系 2.4.2. 正方行列 A が逆行列をもつ必要十分条件は det(A)≠ 0. 証明. det(A) ≠ 0 ならば逆行列が存在する事は既に見た（定理 2.3.7）．A が逆行列 A^-1 をもてば1 = det(E) = det(AA^-1) = det(A) det(A^-1) よって，det(A)≠ 0. この証明より det(A^-1) = 1/det(A) も分かる． https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F 行列式 (抜粋) 7 行列式の性質 7.1 固有値との関係 https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant Determinant (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/349
350: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/16(日) 20:22:19 ID:0IMtsn2Y >>348-349 補足 ＜行列式の視点から、行列では「可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たない」は、簡単に見える＞ まず、下記を３点を認めましょう ・det(AB) = det(A) det(B). ・逆行列 A^-1で、det(A^-1) = 1/det(A) ・（逆行列の一意性）：A^-1 が存在すれば，AX = E を満たす行列 X は A^-1 でなければならない この３点を認めると １）零因子とは、A≠0で AX＝0（零行列）、但し X≠0 となるもので ２）逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E（単位行列、1とも書く） だから、１）と２）とが、同時には成り立つと ・AX＝0に、左から逆行列A^-1を掛けて、 ・A^-1AX＝0→X＝0となる。これは、 X≠0に矛盾 ・よって、「１）と２）とは、同時には成り立たない」は、ほぼ自明です そもそも、”零因子AX＝0”と、”逆行列の存在 AA^-1＝A^-1A＝E”とは、水と油みたいなものです（＾＾ 行列Aで、逆行列の存在と、零因子AX＝0の成否とが、 密接に関連していることは、 大学の数学教程を学べば常識でしょうね〜ｗｗ（＾＾； （>>332より） https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13168979413 数学の代数学について sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo 可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/350
354: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/17(月) 06:59:49 ID:lbRpX4Uh >>348-353 肝心なことが分かってませんね 今、あなたに対して指摘されているのは 「逆行列を持てば零因子ではない」ではなく 「逆行列を持たなければ零因子」に対する あなたの証明の誤りです つまり行列Aについて A≠O かつ |A|=0 というだけでは、余因子行列~Aについて A~≠O とはいえない、ということ これ 余因子が分かっていたら明らかですよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/354
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