純粋・応用数学（含むガロア理論）3

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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314: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/15(土) 17:41:47 ID:I4zLJ0eW

>>311 トリビア蛇足

花木章秀 信州大より
モノイドの場合
gz・f = idS （単位元）
f・gz ≠ idS （解答記載の通り）

１）まず
A は写像の合成を演算としてモノイドで、恒等写像 idS を単位元とする
f ∈ A を f(a) = a + 1
z ∈ N に対して gz ∈ A を
gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
　or
=z (a = 1)
で定めている

２）22の解答にある 「h が f の右逆元であるとすると fh = f ・ h = idS である。しかし f は全射ではないので、これは矛盾である。よって f は右逆元をもたない」
　これ、分かる人には分かるが、まず、恒等写像 idS ：N→Nで は、1を1に、2は2に・・・と写す恒等写像で、”全単射”です。これ言われてみれば自明

３）さて、f(a) = a + 1は、何をしているかというと、f：N→N+1に移す
　ここで、Nは1から始まる自然数を考えていて、N+1には、1は含まれないので、全射ではない
　gz(a) =a - 1 (a >= 2) or =z (a = 1) 、これは何をしているかというと、gz：N+1→Nなのです（但し、N+1には、a = 1は含まれていない）
　つまり、gzは、N+1→Nで、N+1をNに引き戻すことができます
　（なお、gz：N→Nの場合には、Nには、a = 1が含まれるので、gz：1→z となって、zのところがダブりで、単射性が崩れている写像です

４）で、上記２）で、ある写像ｈ：N→N（Nの部分集合の場合もあり）があって、その像はN全体かNの部分集合かです。そのいずれにせよ、 f は全射ではない。写像の合成fhも全射にはならない。よって、合成fhは恒等写像 idSではない！

５）同じ論法で、>>311の「k が gz の左逆元であるとすると kgz = k ・ gz = idS である。しかし gz は単射ではないので、これは矛盾である」も言える

６）花木解答に記載の「gz・f = idS」は、上記３）で述べた通りです
　f・gzはどうかと言えば、gz：N→Nでzのところがダブりですが、像はNそのものなのです。そして、f：N→N+1で、その像は 1 は集合N+1に含まれないので、「f・gz ≠ idS」という花木解答です

トリビア蛇足でした
これは、自分では思いつかないね
（実際、gz・f = idS → f・gz ＝ idS が証明できないかを（モノイドなどにおいて）考えてみたが、出来なかった。反例があるんだね。思いつかなかったな）
（＾＾；

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/314

321: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/16(日) 07:55:35 ID:0IMtsn2Y

>>320

つづき

（>>314-315も、ご参照）
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀 信州大
問題集
version 20120704
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/intro/intro_mondai_20120704.pdf
代数入門問題集 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド
P2
（問題）
22.など

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E6%95%B4%E5%9F%9F
非可換整域
(抜粋)
環論と呼ばれる抽象代数学の一分野における（非可換[注釈 1]）整域あるいは域（いき、英: domain）とは、右または左零因子を持たない（つまり ab = 0 ならば a = 0 または b = 0 が成り立つ[2]、零積律（英語版）を満たすとも言われる）環のことを言う。

群環と零因子問題
群 G と体 K に対して、群環 R :=K[G] は域となるかを考える。恒等式
(1-g)(1+g+・・・ +g^(n-1)=1-g^n
から有限な位数 n を持つ元 g から R の零因子 1 - g が得られる。
零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、
零因子問題
与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか
今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。

様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている。Farkas & Snider (1976)は「G が捩れの無い多重巡回×有限（英語版）群 (polycyclic-by-finite group) で K が標数 char?K = 0 の体ならば群環 K[G] は域を成す」ことを証明した。後に Cliff (1980) が体の標数に関する制限を取り除いている。Kropholler, Linnell & Moody (1988) はこれらの結果を捩れの無い可解群および可解×有限群の場合にまで一般化している。それより早く Lazard (1965) の成した研究は（その重要性は20年もの間この分野の専門家に省みられることは無かったが）、K が p-進整数環で G が GL(n, Z) の p-次合同部分群（英語版）である場合を扱っていた。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/321

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