純粋・応用数学（含むガロア理論）3

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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311: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/15(土) 10:54:14 ID:I4zLJ0eW

>>300 補足

モノイドの場合は、下記 花木章秀 信州大 問題 22で
二つの元 fとgzで
gz・f = idS （単位元。 問題では idN と書いてあるが、解答と不一致となっているのは、ご愛敬です（＾＾；　）
一方、 f・gz ≠ idS （解答記載の通り）
なるほど、なるほど（＾＾

（参考）
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀 信州大
問題集
version 20120704
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/intro/intro_mondai_20120704.pdf
代数入門問題集 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド

P2
（問題）
22. A を 1 を単位元とするモノイドとする。
a ∈ A に対して、b ∈ A が a の 左逆元であるとは、ba = 1 となることとする。
また b が a の 右逆元であるとは、ab = 1 となることとする。

A を N から N への写像全体の集合とする。
A は写像の合成を演算として、恒等写像 idN を単位元とするモノイドになる。
f ∈ A を f(a) = a + 1 で定める。
f は左逆元をもつが、右逆元をもたないことを示せ。
また、z ∈ N に対して gz ∈ A を
gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
or
=z (a = 1)
で定める。
gz は右逆元をもつが、左逆元をもたないことを示せ。

(解答)
代数入門問題集・解答例と解説 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド

P15
22. h が f の右逆元であるとすると fh = f ・ h = idS である。しかし f は全射ではないので、これは矛盾である。
よって f は右逆元をもたない。
k が gz の左逆元であるとすると kgz = k ・ gz = idS である。しかし gz は単射ではないので、これは矛盾である。
よって gz は左逆元をもたない。
すぐに分かるように gzf = idS が成り立ち、よって gz は f の左逆元、f は gz の右逆元である。
これによって左 (右) 逆元は、存在しても一意的ではないことも分かる。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/311

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