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純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
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286: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/14(金) 18:36:13 ID:OxWPj/ry >>285 つづき 圏論との関係 モノイドは圏の特別なクラスと看做すことができる。実際、モノイドにおいて二項演算に課される公理は、圏において（与えられたただ一つの対象を始域および終域とする射の集合だけで考えれば）射の合成に課される公理と同じである。すなわち、 モノイドはただひとつの対象をもつ圏（単一対象圏）と本質的に同じものである。 もっとはっきり述べれば、モノイド (M, ・) はただひとつの対象をもち、M の元を射として小さい圏を成す（射の合成はモノイド演算 ・ で与えられる）。 これと平行して、モノイド準同型は単一対象圏の間の函手とみなされる。ゆえに、今考えている圏の構成は（小さい）モノイドの圏 Mon と（小さい）圏の圏 Cat のある充満部分圏との間の圏同値を与えるものになっている。同様に、（小さい）群の圏は、Cat の（モノイドの圏とは別の）ある充満部分圏に同値である。 この意味では、圏論をモノイドの概念の一般化であると考えることができ、モノイドに関する定義や定理の多くを（ひとつまたはそれ以上の対象を持つ）小さい圏に対して一般化することができる。例えば、単一対象圏の商圏とは、剰余モノイドのことである。 モノイドの全体は（他の代数的構造がそうであるのと同様に）、モノイドを対象としモノイド準同型を射とする圏 Mon を成す。 また、抽象的な定義によって、各圏における「モノイド」としてモノイド対象の概念が定まる。通常のモノイドは（小さい）集合の圏 Set におけるモノイド対象である。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/286
292: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/14(金) 19:04:15 ID:tstI7/Nb >>281-286 零因子っていわなくなったね >>173の間違いを認めたくないなんて どうしようもない小者だね だから数学が理解できない馬鹿のままなんだよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/292
293: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/14(金) 19:30:47 ID:tstI7/Nb >>286 ＞モノイドは圏の特別なクラスと看做すことができる。 ＞実際、モノイドにおいて二項演算に課される公理は、 ＞圏において（与えられたただ一つの対象を始域および終域とする ＞射の集合だけで考えれば）射の合成に課される公理と同じである。 さらに、射を同型射だけに制限すれば、群になる 射 (圏論) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84_(%E5%9C%8F%E8%AB%96) 単射: 射 f: X → Y が単射 (mono-morphism) であるとは、 f ∘ g1 = f ∘ g2 ならば g1 = g2 が 任意の射 g1, g2: Z → X に対して成り立つこと。 全射: 双対的に、f: X → Y が全射 (epi-morphism) であるとは、 g1 ∘ f = g2 ∘ f ならば g1 = g2 が 任意の射 g1, g2: Y → Z に対して成り立つこと。 単射でも全射でもあるような射は 全単射あるいは双射 (bimorphism) と呼ばれる。 同型射: 射 f: X → Y に対して射 g: Y → X が存在し、 f ∘ g = idY かつ g ∘ f = idX が 成り立つものを同型射であると言う。 射 f が左逆射と右逆射をともに持つとき、 両者は一致して f は同型射であり、 g は単に f の逆射 (inverse) と呼ばれる。 逆射は、それが存在すれば一意である。 逆射 g もやはり同型射であり、逆射として f を持つ。 二つの対象がその間に同型射を持つとき、 それら二つは互いに同型あるいは同値であるという。 注意すべきは、任意の同型射は双射だが、 双射は必ずしも同型射ではないことである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/293
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