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純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
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285: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/14(金) 18:35:48 ID:OxWPj/ry >>283 つづき M の任意の元 a, b, c に対し、a ・ b = a ・ c が成り立つならば、常に b = c を帰結することができる という条件を満たすときにいう。消約的可換モノイドは常にグロタンディーク構成によって群に埋め込むことができる。これは、整数全体の成す加法群（加法演算 "+" に関する群）を自然数全体の成す加法モノイド（加法演算 "+" に関する消約的可換モノイド）から構成する方法の一般化である。しかし、非可換消約的モノイドは必ずしも群に埋め込み可能でない。 消約的モノイドが有限ならば、実は群になる。実際、モノイドの元 x を一つ選べば、有限性より適当な m > n > 0 をとって xn = xm とすることができるが、これは消約律により xm-n = e（e はモノイドの単位元）となり、xm-n-1 が x の逆元となる。 モノイドの右消約元の全体あるいは左消約元の全体は部分モノイドを成す（単位元を含むのは明らかだが、演算が閉じていることはそれほど明らかではない）。これは、任意の可換モノイドの消約元の全体はかならず群に延長することができるということを意味している。 モノイド M は、M の各元 a がそれぞれ a = a ・ a-1 ・ a かつ a-1 = a-1 ・ a ・ a-1 となる M の元 a-1 をただひとつ持つとき、M を逆モノイド (inverse monoid) あるいは山田モノイドという[注釈 5]。逆モノイドが消約的ならばそれは群を成す。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/285
286: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/14(金) 18:36:13 ID:OxWPj/ry >>285 つづき 圏論との関係 モノイドは圏の特別なクラスと看做すことができる。実際、モノイドにおいて二項演算に課される公理は、圏において（与えられたただ一つの対象を始域および終域とする射の集合だけで考えれば）射の合成に課される公理と同じである。すなわち、 モノイドはただひとつの対象をもつ圏（単一対象圏）と本質的に同じものである。 もっとはっきり述べれば、モノイド (M, ・) はただひとつの対象をもち、M の元を射として小さい圏を成す（射の合成はモノイド演算 ・ で与えられる）。 これと平行して、モノイド準同型は単一対象圏の間の函手とみなされる。ゆえに、今考えている圏の構成は（小さい）モノイドの圏 Mon と（小さい）圏の圏 Cat のある充満部分圏との間の圏同値を与えるものになっている。同様に、（小さい）群の圏は、Cat の（モノイドの圏とは別の）ある充満部分圏に同値である。 この意味では、圏論をモノイドの概念の一般化であると考えることができ、モノイドに関する定義や定理の多くを（ひとつまたはそれ以上の対象を持つ）小さい圏に対して一般化することができる。例えば、単一対象圏の商圏とは、剰余モノイドのことである。 モノイドの全体は（他の代数的構造がそうであるのと同様に）、モノイドを対象としモノイド準同型を射とする圏 Mon を成す。 また、抽象的な定義によって、各圏における「モノイド」としてモノイド対象の概念が定まる。通常のモノイドは（小さい）集合の圏 Set におけるモノイド対象である。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/286
292: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/14(金) 19:04:15 ID:tstI7/Nb >>281-286 零因子っていわなくなったね >>173の間違いを認めたくないなんて どうしようもない小者だね だから数学が理解できない馬鹿のままなんだよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/292
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