純粋・応用数学（含むガロア理論）3

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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281: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/14(金) 18:32:21 ID:OxWPj/ry

>>271 >>272 補足

(引用開始)
　最後に左逆行列と右逆行列が存在すればそれらは一致し，したがって，逆行列はただ
1 通りに定まることを示しましょう．X は A の左逆行列，Y は A の右逆行列だとすると，
XA = I, AY = I ．
このとき，行列の積の結合則 (AB)C = A(BC) と単位行列の性質 IA = AI = A より，
X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
よって，X = Y，したがって，XA = AX = I が成り立ちます．

逆行列の性質
AA-1 = A-1A = E
実際，AX = E のとき，XY = E なる Y の存在を仮定する。
XA = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E
したがって，AX = E かつ XY = E なる Y が存在するならば，XA = E
これは，右逆行列が存在するならば，それは左逆行列も存在して一致するという，逆行列
の性質の証明には不十分である。A に対する X の存在は仮定しているが，それだけで X に
対する Y の存在がいえないからである。
(引用終り)

ここ
重要変形テク
1)X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
　同じだが
　X = XE = X(AY) = (XA)Y = EY = Y．
2)A = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E

さて
行列では、AX = E のとき，XAを考えると
XA＝XEA＝X(AX)A＝X(AX)A＝(XA)(XA)＝(XA)^2
これから
(XA)^2-XA＝0（零行列）
(XA)(XA-E)＝0
Xが零因子でなく、従って、XAが零因子であることを認めると、
XA-E＝0より
XA＝E 成立（途中、結合則と分配則などを使った）

この証明は、行列だから可能です
一般の代数系では、できない。（下記、松本　眞 広島大などご参照）

なので、群では、左逆元と右逆元との存在を仮定し（それは即ち、モノイドでは一致するが）、それらを公理として与えるのです（松本　眞 広島大などご参照）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/281

282: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/14(金) 18:32:56 ID:OxWPj/ry

>>281
つづき

（参考）
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/daisu-nyumon.pdf
代数系への入門 松本　眞 広島大 平成 25 年 8 月 26 日

P45
2.4 群
2.4.1 逆元と群

定義 2.4.1. (S, ・) を単位元 eS を持つマグマとする。（単位元はあれば一つであること、すなわち問題 2.12 に注意。）
g ∈ S の（e に関する）左逆元 a とは、
a ・ g = eS
を満たす a ∈ S のことをいう。
g ∈ S の右逆元 b とは、
g ・ b = eS
を満たす b ∈ S のことをいう。
g の左逆元であって、かつ右逆元であるような元を g の逆元という。すなわち、
a ・ g = eS, g ・ a = eS
となるような a のことである。
逆元を持つ元を可逆元という。
命題 2.4.2. (S, ・, eS) をモノイドとする。g に左逆元 a と右逆元 b が存在するならば、それら
は一致する。特に、g の逆元は存在すれば唯一つ。これを g-1 で表す。

証明.
a = a ・ eS = a ・ (g ・ b) = (a ・ g) ・ b = eS ・ b = b.
よって左逆元と右逆元は、両方存在すれば一致する。
特に、逆元が二つあったとしよう。それらを a, b とすれば、a は左逆元でもあるし、b は右
逆元でもあるから、上の事実より一致せざるを得ない。

問題 2.20. モノイドの代わりに、条件を弱めて「単位元をもつマグマ」に対しても、逆元が
存在すれば唯一つであることが証明できるか？
ヒント：実は、反例がたくさんあり、当然証明はできない。例えば (R, *) を
x * y = x + y + x^2y^2
で定義するとこれはマグマであり、0 が単位元となっている。
x * y = 0
を二次方程式の解の公式を用いて解くと、逆元が二つ存在することがあることがわかる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
環 (数学)

環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ[注 1]。

定義と導入
略

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/282

306: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/15(土) 06:56:39 ID:lDTZxP5F

>>281 補足

”群環と零因子問題
群 G と体 K に対して、群環 R :=K[G] は域となるかを考える。恒等式
(1-g)(1+g+・・・ +g^(n-1)=1-g^n
から有限な位数 n を持つ元 g から R の零因子 1 ? g が得られる。
零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、
零因子問題
与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか
今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。”
英語版では、”No counterexamples are known, but the problem remains open in general (as of 2017).”

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E6%95%B4%E5%9F%9F
非可換整域
(抜粋)
環論と呼ばれる抽象代数学の一分野における（非可換[注釈 1]）整域あるいは域（いき、英: domain）とは、右または左零因子を持たない（つまり ab = 0 ならば a = 0 または b = 0 が成り立つ[2]、零積律（英語版）を満たすとも言われる）環のことを言う。

(https://en.wikipedia.org/wiki/Zero-product_property
In algebra, the zero-product property states that the product of two nonzero elements is nonzero.
In other words, it is the following assertion:
If  ab=0, then  a=0 or b=0.)

しばしば自明でない（一つよりも多くの元を持つ）ことを仮定する[3]が、域が乗法単位元を持つならば、この仮定は 1 ≠ 0 と同値[4]であり、この場合の域は「左または右零因子を持たない非自明な環」のことになる。1(≠ 0) を持つ可換域は（可換）整域と呼ばれる[5][注釈 1]。

定理 (Wedderburn)
有限域は自動的に有限体になる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/306

319: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/16(日) 07:53:53 ID:0IMtsn2Y

>>251 補足
(>>214-215より、引用開始)
群・環・体
この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります

（おサルが）「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）

なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾；

抽象代数学に、無知ってことですねＷＷＷＷＷ（＾＾；
知る人ぞ知る
常識と言えば、常識かもね
ｗｗｗｗｗ（＾＾；
(引用終り)

＜さて、もう一度纏める＞
１）下記零因子の定義より、aが左零因子で（a≠0で） ax=0 となる x≠0 が存在するとして
　　もし、aが左逆元 a^-1L を有し、(a^-1L)(a)＝I(単位元)となれば、左から(a^-1L)を ax=0に掛けて
　　x=0が得られ、x≠0に矛盾する。よって、「aが左零因子」と「aが左逆元 a^-1L を有す」は、両立しない
　（同様、「aが右零因子」と「aが右逆元 a^-1R を有す」は、両立しない）
２）さて、積演算が可換な場合は、左右の区別がなく、「aが零因子」と「aが左逆元 a^-1L 又は右逆元 a^-1R を有す」は、（左右どちらも）両立しない
３）さらに、群では、逆元には左右の区別がないので（逆元は左右どちらも同じ）、従って、aの逆元の存在と、「aが左零因子」又は「aが右零因子」とは、（左右どちらも）両立しない（>>312-313）
４）モノイドや、マグマになると、群とは異なる現象がおきる（下記松本、花木）
５）正方行列の場合も、３）同様である。それらは、行列や行列式の理論から、諸結果を導くことも可能だが、多くの部分は抽象代数学の一般的な群、環、体の理論から導くことも可能である(>>281)
６）なお、下記「非可換整域 wikipedia」の”群環と零因子問題（カプランスキーの零因子予想）”というのがあって、「様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている」、「今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2017年現在）」です

まあ結局、”「零因子」と、「逆元を持つ」とは、密接な関係がありま〜す”！！

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/319

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