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純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
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271: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/13(木) 23:57:18 ID:bF50UmjA >>261 ＜行列の右逆行列と左逆行列が一致する話（１〜４）＞ １） http://tad311.xsrv.jp/hsmath/ 大学数学へのかけ橋！『高校数学＋α ：基礎と論理の物語』著者： 宮腰 忠 http://tad311.xsrv.jp/hsmath/biseki/A%5Einv.pdf n 次正方行列 A についての定理 「XA = I ←→ AX = I」の初等的証明 1） 1）【補足説明】定理：有限次数の正方行列 A に対して，XA = I（I は単位行列）を満たす行列 X が存在する とき，それは AX = I を満たす．逆に，行列 X が AX = I を満たすとき，それは XA = I も満たす．（その ような行列 X を A の逆行列 A ?1 という．逆行列は存在しない場合もある．XA = I を満たす行列 X を A の左逆行列，AX = I を満たす行列 X を A の右逆行列という．したがって，この定理は「左逆行列と右逆 行列は，両者が存在するとき，それらは一致する」と言うことができる．実際の証明はそれらの存在証明 を伴う．無限次元行列については，左逆行列・右逆行列が存在しても，それらが一致するとは限らない 最後に左逆行列と右逆行列が存在すればそれらは一致し，したがって，逆行列はただ 1 通りに定まることを示しましょう．X は A の左逆行列，Y は A の右逆行列だとすると， XA = I, AY = I ． このとき，行列の積の結合則 (AB)C = A(BC) と単位行列の性質 IA = AI = A より， X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y． よって，X = Y，したがって，XA = AX = I が成り立ちます． つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/271
272: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/13(木) 23:58:03 ID:bF50UmjA >>271 つづき ２） http://www.minamiazabu.net/math/ 南麻布広男 手のひら数学 (数学の小部屋) http://math.style/math/kyouhon/lin/ 行列 教本 南麻布広男 http://math.style/math/kyouhon/lin/121018matrix07.pdf 121018 初版 http://goo.gl/MFRFj 行列と行列式 第 7 回 7.1 逆行列 逆行列の性質 AA?1 = A?1A = E 実際，AX = E のとき，XY = E なる Y の存在を仮定する。 XA = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E したがって，AX = E かつ XY = E なる Y が存在するならば，XA = E これは，右逆行列が存在するならば，それは左逆行列も存在して一致するという，逆行列 の性質の証明には不十分である。A に対する X の存在は仮定しているが，それだけで X に 対する Y の存在がいえないからである。 行列の場合はちゃんと成分を使って証明すべきことのようだ。 だが，それはちゃんと証明されているので，右逆行列は存在すれば，左逆行列も存在して， かつそれは一致する，すなわち，逆行列は可換である，としてよいことにする。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/272
275: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/14(金) 07:33:59 ID:tstI7/Nb >>271-274 ◆yH25M02vWFhPクンは、自習中でしたか 結構結構 ところで、写像f:X→Yに対してf^(-1):Y→Xが存在すれば f^(-1)・f:X→X f・f^(-1):Y→Y はいずれも XおよびY上恒等写像id_X、id_Yと一致しますが何か？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/275
281: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/14(金) 18:32:21 ID:OxWPj/ry >>271 >>272 補足 (引用開始) 最後に左逆行列と右逆行列が存在すればそれらは一致し，したがって，逆行列はただ 1 通りに定まることを示しましょう．X は A の左逆行列，Y は A の右逆行列だとすると， XA = I, AY = I ． このとき，行列の積の結合則 (AB)C = A(BC) と単位行列の性質 IA = AI = A より， X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y． よって，X = Y，したがって，XA = AX = I が成り立ちます． 逆行列の性質 AA-1 = A-1A = E 実際，AX = E のとき，XY = E なる Y の存在を仮定する。 XA = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E したがって，AX = E かつ XY = E なる Y が存在するならば，XA = E これは，右逆行列が存在するならば，それは左逆行列も存在して一致するという，逆行列 の性質の証明には不十分である。A に対する X の存在は仮定しているが，それだけで X に 対する Y の存在がいえないからである。 (引用終り) ここ 重要変形テク 1)X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y． 同じだが X = XE = X(AY) = (XA)Y = EY = Y． 2)A = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E さて 行列では、AX = E のとき，XAを考えると XA＝XEA＝X(AX)A＝X(AX)A＝(XA)(XA)＝(XA)^2 これから (XA)^2-XA＝0（零行列） (XA)(XA-E)＝0 Xが零因子でなく、従って、XAが零因子であることを認めると、 XA-E＝0より XA＝E 成立（途中、結合則と分配則などを使った） この証明は、行列だから可能です 一般の代数系では、できない。（下記、松本 眞 広島大などご参照） なので、群では、左逆元と右逆元との存在を仮定し（それは即ち、モノイドでは一致するが）、それらを公理として与えるのです（松本 眞 広島大などご参照） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/281
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