純粋・応用数学（含むガロア理論）3

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263: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/13(木) 14:57:41 ID:BJ2NNS4M

>>262
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E8%A1%8C%E5%88%97
単位行列
(抜粋)
単位行列（たんいぎょうれつ、identity matrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。
表記法
n×n 行列の単位元は En や In と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に E や I とも書かれる。
対角行列の記法を用いて In = diag(1,1,1, ... ,1) と書ける。
クロネッカーのデルタを用いると、En = (δij) と表すことが出来る。
性質
単位元である
AI = IA = A

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E5%85%83
単位元
(抜粋)
単位元（ 英: identity element）あるいは中立元（ちゅうりつげん, 英: neutral element）は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。

定義
(M, *) を集合 M とその上の二項演算 * のなすマグマとする。M の元 e が * に関する（両側）単位元であるとは、M のすべての元 a に対して
a*e=e*a=a
を満たすときにいう。
さらに細かく、M の任意の元 a に対して
a * e = a を満たすとき右単位元といい、
e * a = a を満たすとき左単位元という。
単位元は左単位元かつ右単位元である。演算が可換であるときには左右の区別はない。
単位元を持つマグマ、半群、環などはそれぞれ単位的マグマ、単位的半群（モノイド）、単位的環などと呼ばれる。

環などの加法と乗法のふたつの演算を持つような代数系では、どの演算に関する概念であるかを区別するために、加法に関する単位元を加法単位元（しばしば 0 で表す）と呼び、乗法に関する単位元を乗法単位元（しばしば 1 で表す）という。

性質
左単位元および右単位元は一つの代数系に複数存在しうる。
しかしマグマ (M, *) が左単位元および右単位元を持てば、それらは一致しその代数系のただ一つの（両側）単位元となる。
このことは、実際 e1 が左単位元 e2 が右単位元であるならば、
e_{1}=e_{1}*e_{2}=e_{2}
が成立することからわかる。
とくに両側単位元は高々一つしか存在しない。
マグマ (S, *) が一つも単位元を持たないこともありうる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/263

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