純粋・応用数学（含むガロア理論）3

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261: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/13(木) 14:56:33 ID:BJ2NNS4M

>>251 訂正

> ８．また、5の場合において、例えば群Gに含まれる元Aに対して、（右又は左）零因子Bが存在して、（例えば右として）AB＝0（零元）となるとき
>　Bは、Gに含まれてはならない（∵ AB＝0で0∈Gとなると、0には逆元が存在しないので群の定義に矛盾。左因子も同じ）（>>149や下記など）

<ここ補足>
１．まず、普通（実数などの場合）の逆行列では、< 逆行列の一意性 >が成立します。（下記、高知工科大学など）
２．もっとも、一般の逆行列もどきでは、”一意的には定まらない”と言われます（下記、田辺国士）
３．単位行列も、一意です。単位元eもマグマの単位元なども、同様に一意です
４．行列に戻ると、逆行列及び単位行列の一意性から、A A^-1＝E（Eは単位行列）となって
　零因子の存在 AX＝0 (A≠0、X≠0)と矛盾します
　（∵ AX＝0の両辺に A^-1を左から掛けると、A^-1 AX＝(A^-1 A)X＝(E)X＝X≠0、一方右辺は0で矛盾。（但し、結合則を使った））
５．普通の正方行列の場合、Aが零因子行列であることと、逆行列を持つこととが、矛盾することが、逆行列の一意性から簡単に理解できます

（参考）
https://www.kochi-tech.ac.jp/profile/ja/inoue-masaaki.html
高知工科大学 井上　昌昭
http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/pdf/2002/a12/07.pdf
2002 年度 基礎数学ワークブック Ser.A , No.12 高知工科大学 井上　昌昭
< 逆行列の一意性 >
(抜粋)
定理1 正則行列 A の逆行列はただ 1 つである。
< 証明 > A の逆行列が 2 つあったとして, それを X, Y とすると,
XA = AX = I , Y A = AY = I (I は単位行列)
である。よって
X = XI = X(AY)=(XA)Y = IY = Y
より X = Y である。 (証明終)

定理2 正則行列 A に対して,
XA = I (I は単位行列)
を満たす正方行列 X が存在すれば, X は A の逆行列 A^?1 である。
すなわち
X = A^?1
である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/261

262: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/13(木) 14:57:06 ID:BJ2NNS4M

>>261
つづき

http://www.orsj.or.jp/~archive/pdf/bul/Vol.21_04_213.pdf
オベレーションズ・リサーチ 日本オペレーションズ・リサーチ学会
解説 一般逆行列 (1) 田辺国士 (たなベ・くにお 統計数理研究所) 1976
(抜粋)
正方行列 Aの行列式が 0でないならば，行列方程式
AX=I, XA=I    (1)
を満たす行列 Xがただ 1つ定まり，逆行列と呼ばれ A^-l
であらわされます.

このとき，連立一次方程式
Ax=y    (2)
は，任意のベクトru にたいして，ただ 1つの解をもち，
それは の逆行列と右辺の積 A^-l とあらわされること
もよく知られています.

最適化理論，推定理論，制御理論，電気回路網理論などの分野では，非正則
行列や長方行列がしばしば登場し，これをある意味で逆転することが要求されます.

したがって，一般の m,n 行列 にたいして， (1)に類
似の代数的関係が成り立つような“逆行列もどき"
定義され，長方行列 を係数行列とする連立一次方程式
(2) にたいして Xy にしかるべき意味を与えることが
できるならば，これらの分野における行列によるモデル
の表現，計算の運用あるいは推論の上で有用な道具とな
るでしょう.
この考えを最初に定式化したのは E. H. Moore( 1920)
です.L かし， 1950 年代になって A. Bjerhammar
(1951 )や R. Penrose(1955) が独立にこの概念に再定式
化を与えるまで人々の注意をひきませんでした.その後
c. R. Rao( 1962) Moore Penrose, Bjerhammar
よりも弱 、条件による定式化を与え，それを一般逆行列
と名つ寺け， S. K. Mitra とともにこの一般逆行列の系統
的な分類の研究を行なっています[13]. これに関してわ
が国では渋谷[6] の研究があります.

§1. 種々の一般逆行列
Xが満たすべき条件として Xy が連立
一次方程式 (2) の解となるという性質を要求することは
自然でしょう.“方程式 (2) の解が存在するような任意の
右辺 にたいして Xy (2) つの解である"という
条件を満たす n,m 行列 が常に存在します.これを
の一般逆行列と呼び A-であらわします. 一般に
Aにたいして A-は一意的には定まりません .

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/262

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