純粋・応用数学（含むガロア理論）3

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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253: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/13(木) 07:41:28 ID:bF50UmjA

つづき

環の単元群
環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。

任意の単位的環 R, S に対し、単位的環準同型 f: R → S は、単元群の間の群準同型 U(f): U(R) → U(S) を引き起こす。したがって、単位的環 R にその単元群 U(R) を対応させる操作 Uは、単位的環の圏から群の圏への函手である。この函手の左随伴は群 G に群環 ZG を対応させる操作である[3]。

例
・体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%85%83
逆元
(抜粋)
逆元 （ぎゃくげん、英: inverse element）とは、数学、とくに抽象代数学において、数の加法に対する反数や乗法に関する逆数の概念の一般化で、直観的には与えられた元に結合してその効果を「打ち消す」効果を持つ元のことである。逆元のきちんとした定義は、考える代数的構造によって少し異なるものがいくつか存在するが、群を考える上ではそれらの定義する概念は同じものになる。

厳密な定義
単位的マグマの場合
集合 M は二項演算 ・ をもつ代数系すなわちマグマで、 e は (M, ・) の単位元とする。
すなわち (M, ・, e) は単位的マグマであるとする。
M の元 a, b に対して a ・ b = e となるとき、a を演算 ・ と単位元 e に関する b の左逆元 (left inverse), b を演算 ・ 単位元 e に関する a の右逆元 (right inverse) という。またこのとき、b は左可逆、aは右可逆であるという。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/253

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