純粋・応用数学（含むガロア理論）3

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251: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/13(木) 07:39:11 ID:bF50UmjA

>>238
>結局、あなたの引用した文章でも行列の理論から導いてる

うむ、良い指摘です。100点満点の5点をあげよう（＾＾

さて、纏めておこう
１．( >>236より)零因子は、主に環の中に存在し、基本的に 群の中には存在しない(零がない)
２．可換環では、「（可換）体は割り算が自由にできることから整域となる（つまり零因子を持たない）」
３．( >>237より)非可換環では、ちょっと事情が違う
　「非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない」（下記）
４．「ウェダーバーンの小定理によって、すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である」
５．従って、例外的に（無限）斜体（無限可除環）の場合では、零因子が含まれる可能性がある
６．但し、行列群では、非可換でも「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」
　（証明は、 >>173などご参照（行列式|A|が0か否かで異なる））
７．なお、環の中では、左零因子a（ax=0 で、a≠0 かつ x≠0 ）に対し、左逆元 a^(-1)a＝1(単位元)の存在は両立しない
　（∵ ax=0の両辺に、a^(-1)を作用させると、左辺は a^(-1)ax＝x で、右辺は a^(-1)0＝0。これは、x≠0に矛盾（なお、結合則を使った）。これから、可換の場合には、零因子と逆元の存在は、存在しないことが、すぐ分かる。
　なお、「体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る」（下記 逆元 wikipediaより）ので、正方行列 Mは、行列式が 0 以外のとき零因子を持たないし、零因子になれない！！ ）
８．また、5の場合において、例えば群Gに含まれる元Aに対して、（右又は左）零因子Bが存在して、（例えば右として）AB＝0（零元）となるとき
　Bは、Gに含まれてはならない（∵ AB＝0で0∈Gとなると、0には逆元が存在しないので群の定義に矛盾。左因子も同じ）（>>149や下記など）
　冪零元（下記）も、同様の理由で含まれてはならない

つまり、環の中では、零因子と逆元の存在は、密接に関連しているのです！！！
　なお、上記５項辺りは、論文ネタかもしれないね（再録「非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない」（下記））（＾＾；

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/251

261: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/13(木) 14:56:33 ID:BJ2NNS4M

>>251 訂正

> ８．また、5の場合において、例えば群Gに含まれる元Aに対して、（右又は左）零因子Bが存在して、（例えば右として）AB＝0（零元）となるとき
>　Bは、Gに含まれてはならない（∵ AB＝0で0∈Gとなると、0には逆元が存在しないので群の定義に矛盾。左因子も同じ）（>>149や下記など）

<ここ補足>
１．まず、普通（実数などの場合）の逆行列では、< 逆行列の一意性 >が成立します。（下記、高知工科大学など）
２．もっとも、一般の逆行列もどきでは、”一意的には定まらない”と言われます（下記、田辺国士）
３．単位行列も、一意です。単位元eもマグマの単位元なども、同様に一意です
４．行列に戻ると、逆行列及び単位行列の一意性から、A A^-1＝E（Eは単位行列）となって
　零因子の存在 AX＝0 (A≠0、X≠0)と矛盾します
　（∵ AX＝0の両辺に A^-1を左から掛けると、A^-1 AX＝(A^-1 A)X＝(E)X＝X≠0、一方右辺は0で矛盾。（但し、結合則を使った））
５．普通の正方行列の場合、Aが零因子行列であることと、逆行列を持つこととが、矛盾することが、逆行列の一意性から簡単に理解できます

（参考）
https://www.kochi-tech.ac.jp/profile/ja/inoue-masaaki.html
高知工科大学 井上　昌昭
http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/pdf/2002/a12/07.pdf
2002 年度 基礎数学ワークブック Ser.A , No.12 高知工科大学 井上　昌昭
< 逆行列の一意性 >
(抜粋)
定理1 正則行列 A の逆行列はただ 1 つである。
< 証明 > A の逆行列が 2 つあったとして, それを X, Y とすると,
XA = AX = I , Y A = AY = I (I は単位行列)
である。よって
X = XI = X(AY)=(XA)Y = IY = Y
より X = Y である。 (証明終)

定理2 正則行列 A に対して,
XA = I (I は単位行列)
を満たす正方行列 X が存在すれば, X は A の逆行列 A^?1 である。
すなわち
X = A^?1
である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/261

319: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/16(日) 07:53:53 ID:0IMtsn2Y

>>251 補足
(>>214-215より、引用開始)
群・環・体
この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります

（おサルが）「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）

なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾；

抽象代数学に、無知ってことですねＷＷＷＷＷ（＾＾；
知る人ぞ知る
常識と言えば、常識かもね
ｗｗｗｗｗ（＾＾；
(引用終り)

＜さて、もう一度纏める＞
１）下記零因子の定義より、aが左零因子で（a≠0で） ax=0 となる x≠0 が存在するとして
　　もし、aが左逆元 a^-1L を有し、(a^-1L)(a)＝I(単位元)となれば、左から(a^-1L)を ax=0に掛けて
　　x=0が得られ、x≠0に矛盾する。よって、「aが左零因子」と「aが左逆元 a^-1L を有す」は、両立しない
　（同様、「aが右零因子」と「aが右逆元 a^-1R を有す」は、両立しない）
２）さて、積演算が可換な場合は、左右の区別がなく、「aが零因子」と「aが左逆元 a^-1L 又は右逆元 a^-1R を有す」は、（左右どちらも）両立しない
３）さらに、群では、逆元には左右の区別がないので（逆元は左右どちらも同じ）、従って、aの逆元の存在と、「aが左零因子」又は「aが右零因子」とは、（左右どちらも）両立しない（>>312-313）
４）モノイドや、マグマになると、群とは異なる現象がおきる（下記松本、花木）
５）正方行列の場合も、３）同様である。それらは、行列や行列式の理論から、諸結果を導くことも可能だが、多くの部分は抽象代数学の一般的な群、環、体の理論から導くことも可能である(>>281)
６）なお、下記「非可換整域 wikipedia」の”群環と零因子問題（カプランスキーの零因子予想）”というのがあって、「様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている」、「今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2017年現在）」です

まあ結局、”「零因子」と、「逆元を持つ」とは、密接な関係がありま〜す”！！

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/319

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