純粋・応用数学（含むガロア理論）3

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237: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/12(水) 15:01:00 ID:K61Sge4c

>>236
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0
非可換環
(抜粋)
非可換環（ひかかんかん、英: noncommutative ring）とは乗法が可換ではない環である。

非可換環の重要なクラス
可除環
詳細は「可除環」を参照
可除環あるいは斜体とは、除法が可能な環である。つまり、0 でない任意の元 a が乗法逆元、すなわち a・x = x・a = 1 なる元 x を持つような、零環ではない環である[2]。
別の言い方をすれば、環が可除環であることと単元群が 0 でない元全体であることが同値である。

可除環が可換体と唯一異なるのは乗法が可換であると仮定されないということである。しかしながら、ウェダーバーンの小定理によって、すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である。歴史的には、英語では可除環は field と呼ばれることもあり、一方可換体は “commutative field” と呼ばれた。
日本語では、現在でも体は可換体を指すことも可除環を指すこともある。

（ついでに英語版）
https://en.wikipedia.org/wiki/Noncommutative_ring
Noncommutative ring

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E5%85%83%E7%BE%A4
可逆元 （単元群から転送）
可逆元（かぎゃくげん、英: invertible element）または単元（たんげん、英: unit）とは、一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のことをいう。

環の単元群
環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。
とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。
R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。

例
・体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/237

251: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/13(木) 07:39:11 ID:bF50UmjA

>>238
>結局、あなたの引用した文章でも行列の理論から導いてる

うむ、良い指摘です。100点満点の5点をあげよう（＾＾

さて、纏めておこう
１．( >>236より)零因子は、主に環の中に存在し、基本的に 群の中には存在しない(零がない)
２．可換環では、「（可換）体は割り算が自由にできることから整域となる（つまり零因子を持たない）」
３．( >>237より)非可換環では、ちょっと事情が違う
　「非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない」（下記）
４．「ウェダーバーンの小定理によって、すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である」
５．従って、例外的に（無限）斜体（無限可除環）の場合では、零因子が含まれる可能性がある
６．但し、行列群では、非可換でも「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」
　（証明は、 >>173などご参照（行列式|A|が0か否かで異なる））
７．なお、環の中では、左零因子a（ax=0 で、a≠0 かつ x≠0 ）に対し、左逆元 a^(-1)a＝1(単位元)の存在は両立しない
　（∵ ax=0の両辺に、a^(-1)を作用させると、左辺は a^(-1)ax＝x で、右辺は a^(-1)0＝0。これは、x≠0に矛盾（なお、結合則を使った）。これから、可換の場合には、零因子と逆元の存在は、存在しないことが、すぐ分かる。
　なお、「体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る」（下記 逆元 wikipediaより）ので、正方行列 Mは、行列式が 0 以外のとき零因子を持たないし、零因子になれない！！ ）
８．また、5の場合において、例えば群Gに含まれる元Aに対して、（右又は左）零因子Bが存在して、（例えば右として）AB＝0（零元）となるとき
　Bは、Gに含まれてはならない（∵ AB＝0で0∈Gとなると、0には逆元が存在しないので群の定義に矛盾。左因子も同じ）（>>149や下記など）
　冪零元（下記）も、同様の理由で含まれてはならない

つまり、環の中では、零因子と逆元の存在は、密接に関連しているのです！！！
　なお、上記５項辺りは、論文ネタかもしれないね（再録「非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない」（下記））（＾＾；

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/251

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