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純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
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212: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/12(水) 07:48:54 ID:KiyP/uDI >>211 つづき ベストアンサーに選ばれた回答 san********さん 2017/1/903:02:35 まず，言葉の定義を確認しておきます。 環R（ここでは可換環としますが，非可換な環でも同様）において， 単位元を1，零元を0とするとき， a∈R が可逆元であるとは，あるb∈Rでab=ba=1となるものが存在するときにいう。 (このbはaに対して一意的に定まり，aの逆元と呼ばれ，a^(-1)で表す) a∈R が零因子であるとは，a≠0であり，あるb∈Rでb≠0，かつ ab=0となるものが存在するときにいう。 ここで，一般的に可換環で1≠0であることに注意します。 （極端な例として，R={0}という零環というものがありますが，ここでは考えません） さて，a∈Rが可逆元かつ零因子であるとすると， aは逆元a^(-1)をもつ。 そして，零因子であるから，あるb∈Rが存在し，b≠0，ab=0 を満たす。 この両辺にa^(-1)をかけると， a^(-1)・a・b=a^(-1)・0 (a^(-1)・a)・b=a^(-1)・0 1・b=a^(-1)・0 よって，b=0 となり，b≠0に反し，矛盾。 よって，可逆元かつ零因子となる元は存在しない。 零因子が，「0でないもの同士であり，その積が0となるもの」という点がポイントです。 余談ですが，今回のこの事実は， 2つの2次正方行列で，どちらも零行列ではないが積が零行列になるものを考えると，これらはどちらも逆行列を持たない ことを一般化したものです。 復習のために，この具体例を作って考察してみて下さい。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/212
213: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/12(水) 07:49:15 ID:KiyP/uDI >>212 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E9%80%86%E5%85%83 可逆元 (抜粋) 定義 群や単位的半群に対しては、それを半群と見るとき、その元が正則（一般化可逆、擬可逆）元であること、単位元に対する可逆元であること、および単元であることの概念は一致する。 環の単元群 環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 斜体 (数学) (抜粋) 斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/213
219: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/12(水) 08:40:05 ID:aRNO8Y5N >>211-214 そもそも行列の乗法しか考えないのなら、加法を含めた環を考える必要がない 「正則である」という性質を語るのに「零因子でない」とかいうのはズレてる 根本は「線形空間の自己同型写像である」「行列式が０でない」という点にある 「零因子でない」というのはそこから派生する性質でしかない 行列式知ってますか？一度も語ってないけど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/219
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