純粋・応用数学（含むガロア理論）3

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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184: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/11(火) 07:27:11 ID:iE83EVfi

>>173 補足

余因子と逆行列の関係は、下記の方が適切だったね
あと、下記「行列が正則である条件」を是非見て下さい

”行列が正則である条件
正方行列Aが正則である←→|A|≠0
つまり、行列式が0であるかを確かめることで、逆行列を持つかが簡単にわかります！”

ってことね
だから、非正則行列は、|A|＝0ってこと
|A|＝0のときに、Ａは零因子であるは、>>173の通り

「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと行列をしっていれば、すぐ分かること（＾＾；

（参考）
https://oguemon.com/study/linear-algebra/inverse-matrix/
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722
(抜粋)
前回の記事では、行列（正方行列）の余因子について扱いました。今回は、行列式と余因子を用いて逆行列を求める方法について扱います。

目次（クリックで該当箇所へ移動）
余因子から逆行列を求める
逆行列の公式
行列が正則である条件
逆行列を求める例
逆行列を求める2つの方法
おわりに

余因子から逆行列を求める
逆行列の公式

行列が正則である条件
ここで、ある正方行列が正則である（逆行列）を持つための条件について触れます。

逆行列を持つか否かは、行列式の値を確認することで簡単に確かめられます。

行列が正則である条件
正方行列Aが正則である←→|A|≠0
つまり、行列式が0であるかを確かめることで、逆行列を持つかが簡単にわかります！

理由は簡単。

正則 → |A|≠0
Aが正則であるとき、A?1が存在するので、行列式の性質より、
|A||A?1|=|AA?1|=|E|=1
が成り立ちます。
2つのスカラーの積が0でないということは、掛け合わせている2つの値は共に0でないの
で、|A|≠0が言えます。

|A|≠0 → 正則
先ほど出てきた行列1/|A| t[Aij]が定義でき、これを左右のどちらから掛け合わせてもEが導かれます。
よって、逆行列を持つ、すなわち正則であると言えます

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/184

348: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/16(日) 19:44:12 ID:0IMtsn2Y

>>200 補強
(引用開始)
１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
　（上記１を式変形して）
２．A・t[Aij] ＝|A| （正則行列を含む全正方行列の場合）
３．正則行列とは、|A|≠0 （行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）

つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです

逆に言えば、上記3つの要点を理解せずして、
”正則とは何ぞや”を理解したとは言えない
(>>184より)
https://oguemon.com/study/linear-algebra/inverse-matrix/
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722
(引用終り)

追加参考
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/ToshizumiFukui.html
福井 敏純
埼玉大学　大学院理工学研究科
数理電子情報専攻　数学コース
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/
講義関連 福井 敏純
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/Linear_algebra.pdf
線形代数学講義ノート
福井 敏純
2020 年 3 月 23 日
(抜粋)
P20
1.2.4 逆行列

AX = E を満たす行列 X を A の逆行列 (the inverse matrix of A) といい A^-1 で表
す．A^-1 が存在するとき，A は可逆である (invertible) という．Y A = E を満たす行列
Y が存在すればそれは X に等しい．
Y = Y (AX) = (Y A)X = X
A^-1 が存在すれば，AX = E を満たす行列 X は A^-1 でなければならない（逆行列の一意性）．
X = EX = (A^-1A)X = A^-1(AX) = A^-1E = A^-1
実は AX = E をみたす行列 X が存在すれば，XA = E を満たす事*3を後で示す．
逆行列をもつ行列を正則行列 (a regular matrix) という．
例 1.2.9. 可逆な行列 Z が冪等性（即ち Z^2 = Z）を満たすならば Z は単位行列である．
Z = (Z^2)Z^-1 = ZZ^-1 = E となるからである．

*3 Z = XA が可逆ならば Z^2 = XAXA = XA = Z なので XA = Z = E がわかる．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/348

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