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純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
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155: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/10(月) 13:03:05 ID:gEQArxFG 追加（下記では"正則"という語は出てこない） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4 行列群 (抜粋) 行列群はある体 K、通常は前もって固定される、上の可逆行列からなる群 G で、行列の積と逆の演算をもつ。より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる 線型群は体 K 上の行列群に同型な抽象群である、言い換えれば、K 上の忠実な有限次元表現をadmitする 任意の有限群は線型である、なぜならばそれはケイリーの定理（英語版）を使って置換行列によって実現できるからだ。無限群（英語版）の中で、線型群は面白く扱いやすいクラスをなす。線型でない群の例はすべての「十分大きい」群を含む。例えば、無限集合の置換からなる無限対称群 基本的な例 可換環 R 上の n × n 行列全体の集合 MR(n,n) はそれ自身行列の加法と乗法の下で環である。MR(n,n) の単元群は環 R 上の n × n 行列の一般線型群と呼ばれ、GLn(R) あるいは GL(n,R) と表記される。すべての行列群は一般線型群の部分群である 古典群 詳細は「古典群（英語版）」を参照 とりわけ面白い行列群はいわゆる古典群（英語版）である。行列群の係数の環が実数のとき、これらの群は古典リー群（英語版）である。基礎環が有限体であるとき古典群はリー型の群（英語版）である。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす 行列群としての有限群 すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理（英語版）と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい 表現論と指標理論 線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広範囲に渡って使われてきた。とくに表現論は群から行列群への写像を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への準同型を研究する 例 ・たくさんの例にはリー群一覧（英語版）、有限単純群一覧（英語版）、単純リー群一覧（英語版）を見よ。 ・2000年に braid group Bn がすべての n に対して線型であることが示されたときに長年の予想が解かれた[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_group Classical group http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/155
156: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/10(月) 13:10:25 ID:gEQArxFG >>155 「より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる」 と書いたら間違いか？ 「より一般に、可換環 R 上の n × n 正則行列を考えることができる」 と書いたら、より丁寧ではあるけれども でも、「より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる」 の表現で、十分すぎるくらい分かるよね。 群論の文脈で、逆元の存在は、あたりまえ 誤解するやつがいるかもしれないがね 「自然数Ｎが、群の例？」とかな でも、読み進めれば、すぐ分かる話で そういうレベルの人には 「より一般に、可換環 R 上の n × n 正則行列を考えることができる」なんて、”正則行列”？？？？ と よけい、そこで詰まって、理解が進まないかもよ 「より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる」 という表現で十分だよね（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/156
157: １３２人目の素数さん [] 2020/08/10(月) 13:25:08 ID:ooIoTF6w >>155 >追加（下記では"正則"という語は出てこない） ぶぁーか >MR(n,n) の単元群は環 R 上の n × n 行列の一般線型群と呼ばれ 単元て書いてあるやんｗ おまえ単元が何か分からんの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/157
162: １３２人目の素数さん [] 2020/08/10(月) 15:22:53 ID:EXUgpgw2 >>155 >追加（下記では"正則"という語は出てこない） おまえ、idiotだろｗ >上の可逆行列からなる群 G おまえ、可逆行列知らないの？知らないなら真っ先に調べろよｗ >MR(n,n) の単元群は環 R 上の n × n 行列の一般線型群と呼ばれ おまえ、単元知らないの？知らないなら真っ先に調べろよｗ 「M が単位的半群であるとき、 その単位元に対する（左、右）可逆な元を それぞれ（左、右）単元 (unit) と呼ぶ。」 「群や単位的半群に対しては、それを半群と見るとき、 その元が正則（一般化可逆、擬可逆）元であること、 単位元に対する可逆元であること、 および単元であることの概念は一致する。」 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/162
201: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/11(火) 17:57:01 ID:fHpBNDDC >>141-142 補足 ”非可換群”の例として 「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」 と言った 当然、コンテキストして、”群”が前提の話 ”群”が前提の話として、逆元の存在もまた前提です そして、念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話です（>>155ご参照） （なお、行列群 wikipedia の説明中は、すべて”行列”という用語を使っていて、”正則”という用語は一切使われていないのです。それで十分、説明が分かるし、それで良いと思います（＾＾ ） 重箱隅をぐちぐち言っている来る人が居ますが かえって、自分の無知をさらけ出し、自爆していますねｗｗｗ（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/201
239: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/08/12(水) 15:28:44 ID:K61Sge4c >>229 ＆ >>233 あ〜ら、必死の誤読＆曲解の論点ずらしｗ（＾＾ １）（>>229より） (引用開始) ＞まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな (引用終り) そこは、とっくの昔に、補足入れますよ、>>141-142と>>201です ”非可換群”の例として 「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」（>>201より） と言った 当然、コンテキストして、”群”が前提の話 ”群”が前提の話として、逆元の存在もまた前提です そして、念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話です（>>155ご参照） ”全体”とか、関係ないよ。だって、群は積の演算で閉じているってことですからね 群には、部分群も存在するから、中途半端に”全体”とかいうとまずいぞ ２）（>>233より） (引用開始) あなたがいったのは 「群となるのは正方行列（の全体）」 (引用終り) こっちは、最初から「（の全体）」とか言ってないよ それ、「（の全体）」って、あなたの脳内の妄想です それで逃げるのねｗ（＾＾ まあ、妄想全開の人を相手にしても仕方ないから （繰り返すが、当方は”全体”なんて曖昧な用語は使っておりませんよ！！） 許してやるよｗｗｗ（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/239
243: １３２人目の素数さん [] 2020/08/12(水) 17:13:13 ID:aRNO8Y5N >>155は君のような大学にも行ったことない素人が読んでも理解できないよ 難しいからじゃない 訳の分からない文章だから まずここを読むべきだった 一般線型群 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4 そうすれば「表現論ガー」なんていうのが見当違いだと分かる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/243
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