[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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534(7): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)07:59 ID:qg6YAvVW(1/27) AAS
>>526 補足
もう一度、零因子と逆元との関係を纏めておこう
まず、実数Rを成分とするn×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)については、下記ご参照
１．n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) で、ここには0（零行列）と零因子が含まれている
２．Mn(R) から 0（零行列）と零因子を除けば、n×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)になる
３．行列環 Mn(R) においては、零因子か（逆元を持つ）正則行列かは、その行列式で分けられる
即ち、行列A∈Mn(R)で、行列式｜A｜＝0なら零因子、行列式｜A｜≠0なら正則行列となる
省10
535: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)08:00 ID:qg6YAvVW(2/27) AAS
>>534
つづき
More generally, the general linear group of degree n over any field F (such as the complex numbers), or a ring R (such as the ring of integers), is the set of n×n invertible matrices with entries from F (or R), again with matrix multiplication as the group operation.[1] Typical notation is GLn(F) or GL(n, F), or simply GL(n) if the field is understood.
More generally still, the general linear group of a vector space GL(V) is the abstract automorphism group, not necessarily written as matrices.
The special linear group, written SL(n, F) or SLn(F), is the subgroup of GL(n, F) consisting of matrices with a determinant of 1.
The group GL(n, F) and its subgroups are often called linear groups or matrix groups (the abstract group GL(V) is a linear group but not a matrix group). These groups are important in the theory of group representations, and also arise in the study of spatial symmetries and symmetries of vector spaces in general, as well as the study of polynomials. The modular group may be realised as a quotient of the special linear group SL(2, Z).
省22
536: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)08:01 ID:qg6YAvVW(3/27) AAS
>>534
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
行列群
(抜粋)
行列群は指定された体 K上の可逆行列からなる群 G で、行列の積の操作を伴うものである。線型群は体 K 上の行列群に同型な抽象群、つまり、K 上と忠実な有限次元表現を認めるものである。
任意の有限群が線型であるのはケイリーの定理（英語版）を使って置換行列によって実現できるためである。無限群（英語版）の中で、線型群は興味深く扱いやすいクラスをなす。
省17
547(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)10:18 ID:qg6YAvVW(4/27) AAS
AA省
548(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)10:19 ID:qg6YAvVW(5/27) AAS
>>547
つづき
さて、「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られること」
の証明
１．{0}以外の（中間の）イデアルIがあるとする。0 ≠ A = (aij) ∈ Iなる行列Aが存在する
ここに、0 ≠ Aより、ある成分aij≠0である
２．行列単位 Ekl （klのみ1で 他は0の行列）を使う
省17
549(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)10:28 ID:qg6YAvVW(6/27) AAS
>>546
ID:CQL2z3C6さん、どうも
お久しぶりです
お元気そうで、なによりです
552(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)10:32 ID:qg6YAvVW(7/27) AAS
>>548
つづき
（参考）
外部ﾘﾝｸ:detail.chiebukuro.ヤフー/qa/question_detail/q1436721054
yahoo
chi********さん2010/2/1419:08:37
環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
省14
553: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)10:33 ID:qg6YAvVW(8/27) AAS
>>551
つー>>552 「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである。
この証明を教えて下さい。」
556(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)10:41 ID:qg6YAvVW(9/27) AAS
>>551
>だから可換環だっちゅーにｗ 学習せん奴やのうｗ
>非可換環では反例が存在することをまさにいま見たばっかりだろｗ
そうそう、下記の鈴木 咲衣ちゃん
はっきり、可換の場合とうたった方が良いと思う
ここでは、可換の場合のみ扱うと宣言して
このテキストでは、イデアルは、両側イデアルを意味すると、一言いっておく
省12
557: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)10:45 ID:qg6YAvVW(10/27) AAS
>>554
へー、それは面白いな
君の数学科時代にあったら、あなたも数学オチコボレにならなかったかもね
562(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)11:13 ID:qg6YAvVW(11/27) AAS
>>547
>数学に王道無しというが、王道は無くても、正道はあるとおもう
>正道とは、自分に適した道のこと
大学の数学の練習問題というのは
例えば、19世紀とか20世紀前半に
その時代の天才数学者が心血をそそいだ、当時の未解決問題が、あったりするわけだ
それを、どこまで時間を掛けて自力で解く努力をするか
省21
563(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)11:16 ID:qg6YAvVW(12/27) AAS
>>562
つづき
数学研究なら下記
そして、教科書の練習問題に多大の時間を浪費しないという選択肢もありでしょう
身の程知らずが、教科書の練習問題を自力で解こうとして、多大の時間を浪費し
よってもって、数学オチコボレになったらしい人がいる（＾＾；
外部ﾘﾝｸ[html]:reuler.blog108.fc2.com
省5
564(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)11:18 ID:qg6YAvVW(13/27) AAS
>>561
ID:es3Bwx6Yさん
どうも
遊んでいってください（＾＾
577: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)14:59 ID:qg6YAvVW(14/27) AAS
>>576
どうも
ありがとう〜（＾＾
578(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)15:00 ID:qg6YAvVW(15/27) AAS
AA省
581(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)15:07 ID:qg6YAvVW(16/27) AAS
>>578
下記投稿は、零因子と逆行列の関係を知っていたら、下記の意図が分かるはずだがなｗｗｗ
（>>149より再録）
>正：まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな
細かく書いたら切りが無い（＾＾
現高校数学で、行列を教えるかどうか知らないが
下記旧高校数学Cでは、行列を教えていた
省24
588(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)16:06 ID:qg6YAvVW(17/27) AAS
>>543 追加
複素数、４元数、８元数の行列表現
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
複素数
(抜粋)
行列表現
省23
589: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)16:07 ID:qg6YAvVW(18/27) AAS
>>588
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
八元数
(抜粋)
八元数（はちげんすう、英: octonion; オクトニオン）の全体は実数体上のノルム多元体で、ふつう大文字アルファベットの O を使って、太字の O（あるいは黒板太字の ??）で表される。実数体上のノルム多元体はたった四種類であり、O のほかは、実数の全体 R, 複素数の全体 C, 四元数の全体 H しかない。O はこれらノルム多元体の中で最大のもので、実八次元、これは H の次元の二倍である（O は H を拡大して得られる）。八元数の全体 O における乗法は非可換かつ非結合的だが、弱い形の結合性である冪結合律は満足する。
より広く調べられ利用されている四元数や複素数に比べれば、八元数についてはそれほどよく知られているわけではない。にもかかわらず、八元数にはいくつも興味深い性質があり、それに関連して（例外型リー群が持つような）例外的な構造もいくつも備えている。加えて、八元数は弦理論などといった分野に応用を持っている。
省1
590: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)16:08 ID:qg6YAvVW(19/27) AAS
>>588
つづき
下記がよく纏まっているよ（＾＾
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www2.math.kyushu-u.ac.jp
行 列 の 世 界 で
代 数・幾 何・解 析
九州大学公開講座
省13
591: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)16:10 ID:qg6YAvVW(20/27) AAS
>>588 リンクタイポ訂正
>>543 追加
↓
>>534 追加
592(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)16:13 ID:qg6YAvVW(21/27) AAS
>>581
（>>149より再録）
零因子と逆行列の関係
しらないFラン数学科卒ｗｗｗ（＾＾；
604(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)22:48 ID:qg6YAvVW(22/27) AAS
>>581 補足
雪江の代数学3 書棚の肥やしでつんどくだったが、7.5をちらみしてみると、ヤコブソン根基が出てくる
下記だが、ジャコブソンだ？ 普通、雪江の呼び方だろうが（＾＾
ヤコブソン根基は、直感的な議論としては、「ベキ零根基によく似ている。環論において「悪い」という意味はいくつか考えられるが、その一つは零因子であることである。それよりより広い意味での「悪い」という概念は、単元でない（乗法について可逆でない）ことである」
か、なるほど（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ジャコブソン根基
省6
605(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)22:49 ID:qg6YAvVW(23/27) AAS
>>604
つづき
ジャコブソン根基は直感的にはベキ零根基によく似ている。環論において「悪い」という意味はいくつか考えられるが、その一つは零因子であることである。
それよりより広い意味での「悪い」という概念は、単元でない（乗法について可逆でない）ことである。環のジャコブソン根基は単に単元でないというよりも強い性質を満たす元からなる。
これは正式な言い方ではないがジャコブソン根基は（というよりも多くの根基と呼ばれるものはというべきだが）「悪さ」の度合いについて単元でない元のうちでも「悪い」ものの集合だということができる
――ある意味で、ジャコブソン根基の元は「環に内在的な」どんな加群においても「単元として振る舞っ」てはならない。
正確に言えば、ジャコブソン根基の元は自然な準同型（英語版）のもとで、問題の環に内在的なすべての「右可除環」（すべての非零元が右逆元（英語版）をもっているような環）の零元に射影しなければならない。
省3
606(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)22:50 ID:qg6YAvVW(24/27) AAS
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
中山の補題
(抜粋)
現代代数学や可換環論において、中山の補題（なかやまのほだい、英: Nakayama's lemma、クルル-東屋の定理（Krull?Azumaya theorem）とも[1]）は、環（典型的には可換環）のジャコブソン根基とその有限生成加群の間の相互関係を定める。有り体には、補題より直ちに可換環上の有限生成加群は体上のベクトル空間のように振る舞うことが言える。これは代数幾何において重要な道具である、なぜならばそれによって代数多様体の局所的なデータを、局所環上の加群の形において、環の剰余体上のベクトル空間として各点ごとに研究することができるからである。
この補題は、まずヴォルフガンク・クルルによって可換環のイデアルの特殊な場合において発見され、次に一般の場合が Azumaya (1951) によって発見されたにも関わらず、日本人数学者中山正にちなんで名づけられている[1][2]。可換の場合には、補題はケイリー・ハミルトンの定理を一般化した形の単純な帰結であり、これは Atiyah (1969) に書かれている。非可換なときの右イデアルに対する補題の特別な場合は Jacobson (1945) にあり、そのため非可換な中山の補題はジャコブソン-東屋の定理 (Jacobson?Azumaya theorem) と呼ばれることもある[1]。後者はジャコブソン根基の理論にたくさんの応用をもっている[3]。
つづく
607: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)22:50 ID:qg6YAvVW(25/27) AAS
>>606
つづき
結果
局所環
中山の補題は具体的な幾何学的重要性を帯びる。局所環は幾何学において点における関数の芽として生じる。局所環上の有限生成加群はきわめて頻繁にベクトル束の断面の芽として生じる。点よりもむしろ芽のレベルで研究するとき、有限次元ベクトル束の概念は連接層の概念に取って代わられる。インフォーマルには、中山の補題は連接層をなおある意味でベクトル束から来ているとみなすことができると言っている。正確には、F を任意のスキーム X 上の OX-加群の連接層とする。点 p ∈ X における F の茎、これは Fp と表記されるが、局所環 Op 上の加群である。p における F のファイバーは ベクトル空間 F(p) = Fp/mpFp である、ただし mp は Op の極大イデアル。中山の補題によってファイバー F(p) の基底は Fp の極小生成集合に持ちあがる。つまり：
・点における連接層 F のファイバーの任意の基底は局所断面の極小基底から来ている。
非可換の場合
省3
608(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)22:54 ID:qg6YAvVW(26/27) AAS
>>593
>零因子云々は余計な知識であって
>ここでは全く必要ない
笑えるわ
なに言い訳してんだ、オチコボレが
（>>581）
零因子と逆行列の関係
省1
609: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/22(土)22:55 ID:qg6YAvVW(27/27) AAS
>>608 補足
（>>604より再録）
雪江の代数学3 書棚の肥やしでつんどくだったが、7.5をちらみしてみると、ヤコブソン根基が出てくる
下記だが、ジャコブソンだ？ 普通、雪江の呼び方だろうが（＾＾
ヤコブソン根基は、直感的な議論としては、「ベキ零根基によく似ている。環論において「悪い」という意味はいくつか考えられるが、その一つは零因子であることである。それよりより広い意味での「悪い」という概念は、単元でない（乗法について可逆でない）ことである」
か、なるほど（＾＾
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