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純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
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677: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/25(火) 21:26:17.21 ID:lTsO94ZA >>675 まず、定義を確認しようね http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2010/linear2/20101104.pdf 定義 4.6 ベクトルの組 {a1, . . . , am} が V の基底であるとは， • a1, . . . , am は 1 次独立，かつ • 任意の V の要素は a1,. . . , am の線型結合で表される 注意 4.10. 零空間 {0} でないベクトル空間 V が基底をもたないとき， V は無限次元であるという． ベクトル空間 V が無限次元であるための必要十分条件は， 任意個数の 1 次独立な要素をとることができることである． これ、線形空間の通常の基底の定義と全く異なるから （通常の定義では無限次元でも基底が存在する） 違いが分からない馬鹿が、クソをミソだと思って食って下痢するｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/677
678: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/25(火) 21:33:58.03 ID:lTsO94ZA >>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない 無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。 すなわち、（有限または無限の）部分集合 B ⊂ V が基底であるとは、 ・任意の有限部分集合 B0 ⊆ B が線型独立性を持つ。 B0={v1, …, vn} として a1, …, an ∈ F に対して a1v1 + … + anvn = 0 が成り立つならば、 a1 = … = an = 0 でなければならない。 ・各 x ∈ V に対して、 適当な有限個のスカラー a1, …, an ∈ F と ベクトル v1, …, vn ∈ B を選んで x = a1v1 + … + anvn と表すことができる （n は x ごとに違ってよい）。 の二条件を満たすことを言う。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/678
679: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/25(火) 21:39:44.48 ID:lTsO94ZA 任意のベクトル空間は基底を持つ（このことは選択公理と同値） http://alg-d.com/math/ac/basis.html http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/679
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