[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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448(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/20(木)00:23 ID:gmO23IhH(1/5) AAS
>>434 補足
”斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。”
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
斜体 (数学)
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。
性質・諸概念
逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。
省7
449(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/20(木)00:24 ID:gmO23IhH(2/5) AAS
>>448
つづき
諸概念
体 K の乗法群の任意の有限部分群は巡回群である。
体の元の濃度を位数といい、有限な位数を持つ体を有限体と呼び、そうでない体を無限体と呼ぶ。有限斜体は常に可換体である（ウェダーバーンの小定理）。
n・1 で単位元 1 を n 回足したものを表すとき、n・1 = 0 となるような正の整数 n のうち最も小さなものをその体の標数という。ただし、そのような n が存在しないとき標数は 0 であると決める。体の標数は 0 または素数である。
省8
450: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/20(木)00:25 ID:gmO23IhH(3/5) AAS
>>449
つづき
Division rings differ from fields only in that their multiplication is not required to be commutative. However, by Wedderburn's little theorem all finite division rings are commutative and therefore finite fields. Historically, division rings were sometimes referred to as fields, while fields were called "commutative fields".[5]
All division rings are simple, i.e. have no two-sided ideal besides the zero ideal and itself.
Main theorems
Wedderburn's little theorem: All finite division rings are commutative and therefore finite fields. (Ernst Witt gave a simple proof.)
Frobenius theorem: The only finite-dimensional associative division algebras over the reals are the reals themselves, the complex numbers, and the quaternions.
省7
451: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/20(木)00:27 ID:gmO23IhH(4/5) AAS
>>447
>idiotと云われただけで発●するなよ
いや、別に
アホのオチコボレ数学科、ヒキコモ無職・無収入から
何を言われようが、なんともないｗ（＾＾
463(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/20(木)21:21 ID:gmO23IhH(5/5) AAS
>>428 訂正
訂正しときます
（訂正のみ書くよ）
（補足）
・行列単位の積 EikEkl = Eil となる（なおEik等は、行列単位で、(i, k) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列（下記戸松ご参照））
・上記同様だが、下記花木の問 25(4)で
0 ≠ A = (aij) ∈ I でのEkiAEjｌ
省20
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