純粋・応用数学（含むガロア理論）3

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146: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 08:14:25 ID:gEQArxFG

>>145
つづき

http://www.xmath.ous.ac.jp/~shibata/conference/Fin_Grp_Rep.pdf
群と表現の話 Taiki Shibata 筑波大学 2019
概要
群は対称性の記述をはじめとして数学のいたるところに顔を出す．群を表現するとは，抽象的で
ありイメージが掴みにくい群を，よく理解している行列の言葉（線形代数）で「表現」するというこ
とである．群そのものを見るよりずっと広い世界でものを考えることができるという利点がある．

http://rtweb.math.kyoto-u.ac.jp/preprint/nagoya.pdf
表現論の方法と考え方 2000 年度 名古屋大学集中講義 (自然数理特論) 西山 享 (京大)

Abstract
表現論は数学・物理学のさまざまな分野で道具として開発され、かつ有効に使われて
きた。特に量子力学への応用、超対称性など素粒子論の分野や、あるいは整数論 (保型形
式の理論)、組み合わせ論、不変式論や特殊函数論などに大きな影響を与えている。

行列群として、一般線型群 (代数群の代表選手として) と、直交群 (実 Lie 群の
代表選手として) の表現論を扱う。もちろんこの二つの群を同列に扱うことも可能だが、
敢えて二つの異るアプローチを行なう。

GL(n; C ) については行列環上のさまざまな作用を考え、行列の要素のなす多項式環
上の表現を分解したり、あるいは対称行列への作用を考えて同じようにこの表現を分解
したりする方法を学ぶ。その過程で GL(m; C ) GL(n; C )-duality とか Schur の双対律
などにも触れる予定である。
SO(n) については球面上の関数空間への表現を考え、その既約分解が球面調和関数
や、球面のラプラシアンの固有値問題とどのように関わっているかを解説する。時間が許
せば、不定計量の直交群 SO(p; q) や、量子力学との関係についても簡単に解説したい。

http://www.f.waseda.jp/homma_yasushi/homma-lecture.htm
講義ノート 本間 泰史
http://www.f.waseda.jp/homma_yasushi/homma2/download/representation.pdf
有限群の表現，対称群の表現の基礎 本間 泰史

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/146

149: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 09:37:18 ID:gEQArxFG

>>142 補足
>正：まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな

細かく書いたら切りが無い（＾＾
現高校数学で、行列を教えるかどうか知らないが
下記旧高校数学Cでは、行列を教えていた
後は、自学自習して下さい

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul1.html
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子
(抜粋)
［解説］
●　数については，
ａｂ＝０ならば，ａ＝0またはｂ＝０です。
(対偶で言えば，ａ≠０かつｂ≠0ならばａｂ≠０です。)

●　行列については，
ＡＢ＝０であっても，Ａ＝０またはＢ＝０　とは限りません。
(対偶で言えば，Ａ≠0かつＢ≠0でもＡＢ＝０となることがあります。)

※　教科書では，「Ａ≠0かつＢ≠0でＡＢ＝０となる行列Ａ，Ｂを零因子という」とされています。教科書としては，これ以上深入りしにくいと思いますが，授業で解説するには，逆に踏み込んだ方が(少なくともこのページの作者には)概念的に分かりやすい：
「Ａ≠0かつＢ≠0でＡＢ＝０となるときＡをＢの左零因子，ＢをＡの右零因子という。」

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0
行列環
(抜粋)
行列環 は、行列の加法および行列の乗法のもとで環をなす、行列の任意の集まりである。別の環を成分に持つ n×n 行列全体の集合や無限次行列環 (infinite matrix ring) をなす無限次行列のある部分集合は行列環である。これらの行列環の任意の部分環もまた行列環である。
R が可換環のとき、行列環 Mn(R) は行列多元環 (matrix algebra) と呼ばれる結合多元環である。この状況において、M が行列で r が R の元であれば、行列 Mr は行列 M の各成分に r をかけたものである。
行列環は単位元をもたない環上作ることができるが、終始 R は単位元 1 ≠ 0 をもつ結合的環であると仮定する。
2×2実行列 の多元環 M2(R) は非可換結合多元環の簡単な例である。四元数と同じく R 上 4 次元であるが、四元数とは異なり、行列単位の積 E11E21 = 0 からわかるように、零因子をもち、したがって可除環ではない。その可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 GL(2,R) をなす

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/149

155: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 13:03:05 ID:gEQArxFG

追加（下記では"正則"という語は出てこない）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4
行列群
(抜粋)
行列群はある体 K、通常は前もって固定される、上の可逆行列からなる群 G で、行列の積と逆の演算をもつ。より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる
線型群は体 K 上の行列群に同型な抽象群である、言い換えれば、K 上の忠実な有限次元表現をadmitする

任意の有限群は線型である、なぜならばそれはケイリーの定理（英語版）を使って置換行列によって実現できるからだ。無限群（英語版）の中で、線型群は面白く扱いやすいクラスをなす。線型でない群の例はすべての「十分大きい」群を含む。例えば、無限集合の置換からなる無限対称群

基本的な例
可換環 R 上の n × n 行列全体の集合 MR(n,n) はそれ自身行列の加法と乗法の下で環である。MR(n,n) の単元群は環 R 上の n × n 行列の一般線型群と呼ばれ、GLn(R) あるいは GL(n,R) と表記される。すべての行列群は一般線型群の部分群である

古典群
詳細は「古典群（英語版）」を参照
とりわけ面白い行列群はいわゆる古典群（英語版）である。行列群の係数の環が実数のとき、これらの群は古典リー群（英語版）である。基礎環が有限体であるとき古典群はリー型の群（英語版）である。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす

行列群としての有限群
すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理（英語版）と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい

表現論と指標理論
線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広範囲に渡って使われてきた。とくに表現論は群から行列群への写像を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への準同型を研究する

例
・たくさんの例にはリー群一覧（英語版）、有限単純群一覧（英語版）、単純リー群一覧（英語版）を見よ。
・2000年に braid group Bn がすべての n に対して線型であることが示されたときに長年の予想が解かれた[1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_group
Classical group

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/155

169: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 17:01:03 ID:gEQArxFG

>>160
>おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、

笑える
「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
　と
　Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」
”正則”と”零因子”は、関係あり（＾＾；

（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1262110917
数学の質問です Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない  dan********さん2011/5/12 yahoo
(抜粋)
Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
と
Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない
この２つが対偶の関係にあるということはわかるのですが、実際に証明で示すことができません(汗

ベストアンサーに選ばれた回答
たろうさん 2011/5/12
Aが零因子であるとは
AB = Oが成り立つ行列Bがあって, しかもA≠OかつB≠Oであるということです
[ Oは零行列を表します ]
このときもしもAが正則だとしたら
B≠Oのはずなのに
AB = Oの両辺にAの逆行列を掛けることでB = Oに変形できてしまいます
したがって
Aが零因子なら Aは正則でないことが分かります

http://izumi-math.jp/K_Oguri/insi/insi.htm
北数教 第４２回 数学教育実践研究会 −教育現場のおける基礎研究−
行列における零因子の構造
平成1４年８月3日(土) 北海道小樽桜陽高等学校 北海道石狩南高等学校 数学科教諭 小栗 是徳
(抜粋)
『零因子⇒逆行列をもたない』ことが予想されるので，これを背理法によって証明。（必要条件）

https://mathtrain.jp/seisokumatrix
高校数学の美しい物語
最終更新:2016/05/01
行列が正則であることの同値な条件と証明

n×n  の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：

・AB=BA=I（単位行列）となる行列 B が存在する
・detA≠0
・rankA=n
・KerA={0→}
・全ての A の固有値が 0 でない

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/169

173: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 18:00:47 ID:gEQArxFG

>>169 補足
”「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
　と
　Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」”

「正則でない正方行列は零因子である」も成立
よって、”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですなｗｗｗｗｗ（＾＾

（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13193818648
線形代数学の問題です。
yuk********さん2018/7/2910:07:04
線形代数学の問題です。

正則でない正方行列は零因子であることを示せ。
を詳しく説明していただきたいです。
また、零因子も教科書見てもイマイチよくわかってないので解説していただけたら嬉しいです。

ベストアンサーに選ばれた回答
wgf********さん 2018/7/2911:15:58
正方行列A(≠O)が零因子であるとは. AB = Oが成り立つ正方行列B(≠O)存在することです

Aの余因子行列A~を用いて
AA~=|A|Eという関係式が成り立っている
仮定より、Aは正則ではないが故、|A|=0である
よってBとして、A~を選べばAB=Oとなり、Aは零因子です

（上と同じだが）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13131710908
Aが正則でなければ、Aは零因子である事は正しい
him********さん2014/7/10 yahoo
Aが正則でなければ、Aは零因子である事は正しいですか？
間違っていますか？

正しいならば証明を
間違っていれば反例をお願いします。

ベストアンサーに選ばれた回答
zg8********さん 2014/7/10

ＡとＡの余因子行列Ａ〜に対して
Ａ・Ａ〜＝ｄｅｔ（Ａ）Ｅ
が成り立ちます
これの証明は余因子展開を参照してください！
Ａが正則でなければｄｅｔ（Ａ）＝Ｏ
なので
Ａ・Ａ〜＝Ｏ
Ａは零因子となります

（余因子展開）
https://oguemon.com/study/linear-algebra/cofactor-expansion/
oguemon_com
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門
余因子と余因子展開
2019年9月16日

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E5%B1%95%E9%96%8B
余因子展開

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/173

176: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 19:34:27 ID:gEQArxFG

おサルの おバカ伝説がまた一つｗ（＾＾；

＜「正則行列」の話＞
（>>160より）
なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ

>行列環
>（2×2実行列の）可逆元は正則行列でありそれらは群、
>一般線型群 GL(2,R) をなす

おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ
(引用終り)

さてさて
”「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
　と
　Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」”
　及び
「正則でない正方行列は零因子である」
も成立
よって、”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですな！！

（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13193818648
線形代数学の問題です。
yuk********さん2018/7/2910:07:04
線形代数学の問題です。
正則でない正方行列は零因子であることを示せ。

ベストアンサーに選ばれた回答
wgf********さん 2018/7/2911:15:58
正方行列A(≠O)が零因子であるとは. AB = Oが成り立つ正方行列B(≠O)存在することです
Aの余因子行列A~を用いて
AA~=|A|Eという関係式が成り立っている
仮定より、Aは正則ではないが故、|A|=0である
よってBとして、A~を選べばAB=Oとなり、Aは零因子です

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1262110917
数学の質問です Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない dan********さん2011/5/12 yahoo
(抜粋)
Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
と
Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない
この２つが対偶の関係にあるということはわかるのですが、実際に証明で示すことができません(汗

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/176

180: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 21:42:24 ID:gEQArxFG

>>169
証明、証明かｗ
いまどき、そんなものネット上にありますがなｗ（＾＾；
「高校数学の美しい物語」（＾＾

(引用開始)
https://mathtrain.jp/seisokumatrix
高校数学の美しい物語
最終更新:2016/05/01
行列が正則であることの同値な条件と証明

n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
1.AB=BA=I（単位行列）となる行列 B が存在する
2.detA≠0
3.rankA=n
4.KerA={0→}
5.全ての A の固有値が 0 でない
(引用終り)

”行列が正則であることの同値な条件と証明”とあるとおり

以下では1から5の同値性を証明していきます。2ならば1の証明については概要のみ示します。

5つの条件が同値であることの証明
まずは1と2の同値性を証明します。

まずは1と2の同値性を証明します。

1ならば2の証明
積の行列式は行列式の積と等しいので AB=I となるとき，
detAdetB=detI=1
よって detA≠0

2ならば1の証明
detA≠0 のとき，B=A~/detA
（ただし A~ は A の余因子行列，つまり ij 成分が「A から j 行目と i 列目を除いた行列の行列式に (?1)i+j をかけたもの」である行列）
とおくと，AB=BA=I となることが確認できる（→補足）。

次に2と3の同値性です。前提知識：ランク標準形

2 ←→ 3の証明
行列式が 0 でない行列 S,T をうまく取ってくると
SAT=(IOOO)
という形にできる（ランク標準形）。
略

次に3と4の同値性です。前提知識：次元定理

3 ←→ 4の証明
次元定理より，rankA=n?dim(KerA)
よって，rankA=n であることと KerA の次元が 0 であることは同値。

最後に2と5の同値性を証明することで5を仲間に入れます。

2 ←→ 5の証明
A の固有値を λ1,?,λn とすると，
detA=λ1?λn である（→補足）。
（行列式は固有値の積）

よって detA≠0 と，全ての A の固有値が 0 でないことは同値。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/180

181: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 23:07:10 ID:gEQArxFG

山の上のロジック学園……青葉レオ
数学セミナー 　2016年4月号
これ、東北大 田中 一之先生のところの記事だったか
青葉＝Aoba （Scientia） だったのかね（＾＾

https://www.sci.tohoku.ac.jp/about/pdf/no-24.pdf
東北大学大学院理学研究科・理学部 ニュースレター Aoba Scientia No.24 2016.3
P4
研究室訪問
応用数理講座 田中研究室 数学専攻 教授　田中 一之
(抜粋)
　私たちの研究室の業績として、海外でも一応認知されているのが
「逆数学」という研究プログラムにおけるいくつかの成果です。このプロ
グラムは、数学の定理を証明するのにどれだけの公理が必要かを調べ

るものです。数学は、学ぶ立場では公理から定理を導く証明の集積に
見えますが、研究する立場では、ある命題を導くのにどんな仮定や道具
が必要かなどと考えていることが多いと思います。例えば、解析学の授
業では、自然数、実数、連続関数、微積分．．．というように概念が組み
立てられているのに対し、それらの厳密な概念が発見された歴史は真
逆なのです。「逆数学」といっても、何か奇抜なことをやっているわけで
はなく、体系化が進むと忘れられてしまうような発見の歴史や、異なる
理論間の感覚的な類似性などを何とか捉えようとしているわけです。
　しかし、ロジックの専門家は日本にまだ一握りしかいないため、私
は年に数回一般向けの講演会をボランティアで行っています。そん
な私の活動をモデルにしたらしい（かなりコミカルに作り変えられて
います）物語が、月刊誌『数学セミナー』（日本評論社）に４月から連
載されることになりました。「山の上のロジック学園」（青葉レオ文、バラマツヒトミ絵）という題名
です。興味のある方は是非ご覧ください。
（日本評論社とバラマツさんのご厚意で、イラストを転載します。）

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/7059.html
数学セミナー 　2016年4月号
［新連載］山の上のロジック学園……青葉レオ　56
　　　　　特別授業1日目　等式のロジック
［新連載］数の世界の散歩道──整数論に導かれて……落合 理　63
　　　　　広がっていく数の世界(1)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/181

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