純粋・応用数学（含むガロア理論）3

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396: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/18(火) 07:19:07 ID:aMkYF6+a

>>389 補足

下記の
「・Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。すなわち、R の各イデアル I に対して、成分を I にもつすべての n×n 行列の集合は Mn(R) のイデアルであり、Mn(R) の各イデアルはこのように生じる。これが意味するのは、Mn(R) が単純環であることと R が単純環であることは同値である。n ? 2 に対して、Mn(R) のすべての左あるいは右イデアルが前の構成によって R の左または右イデアルから生じるわけではない。例えば、2列目から n 列目まですべて 0 の行列の集合は Mn(R) の左イデアルをなす。」

だな、あと”森田同値”

基本だね
不勉強なので、おれにとっては、基本ではないがね（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0
行列環
(抜粋)
構造
・Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。すなわち、R の各イデアル I に対して、成分を I にもつすべての n×n 行列の集合は Mn(R) のイデアルであり、Mn(R) の各イデアルはこのように生じる。これが意味するのは、Mn(R) が単純環であることと R が単純環であることは同値である。n ? 2 に対して、Mn(R) のすべての左あるいは右イデアルが前の構成によって R の左または右イデアルから生じるわけではない。例えば、2列目から n 列目まですべて 0 の行列の集合は Mn(R) の左イデアルをなす。
・上のイデアルの対応は実は環 R と Mn(R) は森田同値であるという事実から生じる。雑に言えば、これが意味するのは、左 R 加群の圏と左 Mn(R) 加群の圏は非常に似ている。このために、左 R-加群と左 Mn(R)-加群の 同型類 の間と、R の左イデアルと Mn(R) の同型類の間には、自然な全単射の対応が存在する。同様のステートメントは右加群と右イデアルに対しても成り立つ。森田同値を通して、Mn(R) は森田不変な R のどんな性質も引き継ぐ。例えば、単純、アルティン、ネーター、素、そして森田同値の記事において与えられているように多数の他の性質。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/396

415: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/18(火) 21:04:51 ID:aMkYF6+a

>>413
(引用開始)
で、同じ筋で、>>385 「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして （ここに{0}は、零行列）
E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな（>>385のyahoo記事回答より）
E∈Iが言えれば、上記と同じように、I＝行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）となるから（＾＾
(引用終り)

おなじみ、花木章秀先生
問題は、下記の問26で、解答は 25の(4) に同じ
解答 25の(4) は、”0 ≠ A = (aij) ∈ I  ”で”ある aij  は 0  ではない”。これを使って、Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I  なる行列を構成している。
行列Ekｌ が構成できるから、 I = R か
単位行列とは、ちょっと違う筋だね

http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/
環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/files/algex_3.pdf
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
（下記に同じ）
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/main/index.html
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日

問
25.R  を C  上 2  次全行列環 M2(C)  とする。また Eij  で (i,j) - 成分のみが 1  で他の成分がすべて 0  である R  の元を 表すことにする。
(3) Eij  で生成される R  の (両側) イデアル、すなわち REijR  を求めよ。
(4) R  のイデアルは 0  と R  以外にないことを示せ。 ( 0  と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)

解答
(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2  に対して
E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
となるので REijR = R  である。
(4) I  を R  の 0  でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I  とすると、ある aij  は 0  ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2  に対して
Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I
なので I = R  である。

問
26．K  を体 (例えば C ) とする。 K  上 n  次全行列環 Mn(K )  は単純環であることを示せ。
解答
問25 (4) と同様である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/415

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