[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (593ﾚｽ)
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467(7): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:32 ID:WrfyH/cJ(1/22) AAS
>>448 補足
(抜粋)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
斜体 (数学)
性質・諸概念
逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。
(引用終り)
省12
468(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:33 ID:WrfyH/cJ(2/22) AAS
>>467
つづき
アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上の単純環の分類を与えられた可除環を含む可除環の分類に帰着する。これをさらに単純化できる。D の中心は 体 K でなければならない。したがって R は K-代数であり、それ自身は K を中心としてもつ。
有限次元単純代数 R はしたがって K 上の中心的単純代数である。それゆえアルティン・ウェダーバーンの定理は有限次元中心的単純代数の分類の問題を与えられた中心をもつ可除環の分類の問題に帰着する。
(引用終り)
469(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:35 ID:WrfyH/cJ(3/22) AAS
>>468
補足
”ウェダーバーン (1908) とアルティン (1928) によって、多くの超複素数系が行列環として記述できることが示されている。ウェダーバーンの構造定理は体上有限階の多元環に対するもので、アルティンのはそれをより一般のアルティン環に対して一般化したものである。
「アルティン-ウェダーバーンの定理」も参照”な
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
環論
(抜粋)
省7
470: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:36 ID:WrfyH/cJ(4/22) AAS
>>469
つづき
非可換環は多くの点で行列の成す環が雛形となっている。また、代数幾何学をモデルとして、非可換環上に基礎をおく非可換幾何学を構築しようとする動きもある。非可換環および結合多元環（大雑把に言うと、環でもありベクトル空間でもあるようなもの）は、しばしばその上の加群の圏を通した研究が行われる。環上の加群とは、環が群自己準同型として作用するアーベル群であり、体（零元以外の元が全て逆元を持つような整域）がベクトル空間に作用するのと非常によく似た代数的構造になっている。非可換環の例は正方行列の成す環やもっと一般にアーベル群や加群の上の自己準同型全体の成す環、あるいは群環・モノイド環などによって与えられる。
(引用終り)
471(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:38 ID:WrfyH/cJ(5/22) AAS
補足
ついでに
”注釈
1^ 環論において、環 R の "unit"（単元）は、単位元 1R に限らず、その環 R において乗法逆元を持つ元（可逆元）を総した呼称である。しかし、可逆性は単位元の存在なしには定義できないし、単位元は必ず単元であるので、何らかの単元を持つ環は必ず単位的環となって、"ring with (a) unit" という呼称は図らずも齟齬をきたさない。”
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
単位的環
(抜粋)
省9
472(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:38 ID:WrfyH/cJ(6/22) AAS
>>471
つづき
注釈
1^ 環論において、環 R の "unit"（単元）は、単位元 1R に限らず、その環 R において乗法逆元を持つ元（可逆元）を総した呼称である。しかし、可逆性は単位元の存在なしには定義できないし、単位元は必ず単元であるので、何らかの単元を持つ環は必ず単位的環となって、"ring with (a) unit" という呼称は図らずも齟齬をきたさない。
(引用終り)
473(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:46 ID:WrfyH/cJ(7/22) AAS
>>472
さらに、ついで
環 (数学)の関連箇所
自分の備忘録として（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
環 (数学)
(抜粋)
省5
474(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:47 ID:WrfyH/cJ(8/22) AAS
>>473
つづき
もっと重大な差異を生む流儀として、環には「乗法の単位元の存在を要求しない」というものがある[4][5][6]。これを認めると、例えば偶数であるような整数の全体 2Z も通常の加法と乗法に関する環となると考えることができる（実際にこれは乗法単位元の存在以外の環の公理を全て満足する）。乗法単位元の存在以外の環の公理を満足する環は、しばしば擬環 (pseudo-ring) とも呼ばれ、あるいは多少おどけて（ring だけれども乗法単位元 i が無いからということで）"rng" と書かれることもある。これと対照的に、乗法単位元を持つことを強調する場合には、単位的環や単位環 (unital ring, unitary ring) あるいは単位元を持つ環 (ring with unity, ring with identity, rings with 1) などと呼ぶ[7]。ただし、非単位的環を単位的環に埋め込むことは常にできる（単位元の添加）ということに注意。
他にも大きな違いを生む環の定義を採用する場合があり、例えば、環の公理から乗法の結合性を落として、非結合環あるいは分配環と呼ばれる環を考える場合がある。本項では特に指定の無い限りこのような環については扱わない。
Z4 の環としての性質
・整数の乗法においては、二整数 x, y の積が xy = 0 を満たすならば x = 0 または y = 0 が成り立つが、環 (Z4, +, ?) では必ずしもそれは成立せず、例えば 2 ? 2 = 0 が各因数が 0 ではないにもかかわらず成り立つ。一般に、環 (R, +, ?) の非零元 a が (R, +, ?) における零因子であるとは、R の非零元 b で ab = 0 を満たすものが存在するときに言う。環 Z4 においては 2 が唯一の零因子である（なお、0 を零因子と扱うこともあることに注意）。
・零因子を持たない可換環は整域と呼ばれる（後述）。故に整数全体の成す環 Z は整域であり、一方 Z4 は整域ではない環である。
省3
475(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:47 ID:WrfyH/cJ(9/22) AAS
>>474
つづき
環の構成法
剰余環
詳細は「剰余環」を参照
感覚的には環の剰余環は群の剰余群の概念の一般化である。より正確に、環 (R, +, ・ ) とその両側イデアル I が与えられたとき、剰余環あるいは商環 R/I とは、I による（台となる加法群 (R, +) に関する）剰余類全体の成す集合に
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,
省6
476(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:48 ID:WrfyH/cJ(10/22) AAS
>>475
つづき
有限環
詳細は「有限環（英語版）」を参照
自然数 m が与えられたとき、m 元からなる集合には、いったいいくつの異なる（必ずしも単位的でない）環構造が入るのかと考えるのは自然である。まず、位数 m が素数のときはたった二種類の環構造しかない（加法群は位数 m の巡回群に同型）。すなわち、一つは積がすべて潰れる零環であり、もう一つは有限体である。
有限群としてみれば、分類の難しさは m の素因数分解の難しさに依存する（有限アーベル群の構造定理）。例えば、m が素数の平方ならば、位数 m の環はちょうど11種類存在する[11]。一方、位数 m の「群」は二種類しかない（いずれも可換群）。
有限環論が有限アーベル群の理論よりも複雑なのは、任意の有限アーベル群に対してそれを加法群とする少なくとも二種類の互いに同型でない有限環が存在することによる（Z/mZ のいくつかの直和と零環）。一方、有限アーベル群を必要としない方法では有限環のほうが簡単なこともある。例えば、有限単純群の分類は20世紀数学の大きなブレイクスルーの一つであり、その証明は雑誌の何千ページにも及ぶ長大なものであったが、他方で任意の有限単純環は必ず適当な位数 q の有限体上の n-次正方行列環 Mn(Fq) に同型である。このことはジョセフ・ウェダーバーンが1905年と1907年に確立した二つの定理から従う。
省5
477(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:48 ID:WrfyH/cJ(11/22) AAS
>>476
つづき
主イデアル環
詳細は「主イデアル整域」および「主イデアル環」を参照
環は整数全体とよく似た構造を示す代数系だが、一般の環を考えたのではその環論的性質は必ずしも近いものとはならない。整数に近い性質を持つ環として、環の任意のイデアルが単独の元で生成されるという性質を持つもの、すなわち主イデアル環を考えよう。
環 R が右主イデアル環 (PIR) であるとは、R の任意の右イデアルが
aR={ar ｜ r∈ R }
省3
478: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:49 ID:WrfyH/cJ(12/22) AAS
>>477
つづき
非可換環
詳細は「環論」を参照
非可換環の研究は現代代数学（特に環論）の大きな部分を占める主題である。非可換環はしばしば可換環が持たないような興味深い不変性を示す。例えば、非自明な真の左または右イデアルを持つけれども単純環である（つまり非自明で真の両側イデアルをもたない）ような非可換環が存在する（例えば体（より一般に単純環）上の2次以上の正方行列環）。このような例から、非可換環の研究においては直感的でないような考え違いをする可能性について留意すべきであることがわかる。
ベクトル空間の理論を雛形にして、非可換環論における研究対象の特別な場合を考えよう。線型代数学においてベクトル空間の「スカラー」はある体（可換可除環）でなければならなかった。しかし加群の概念ではスカラーはある抽象環であることのみが課されるので、この場合、可換性も可除性も必要ではない。加群の理論は非可換環論において様々な応用があり、たとえば環上の加群を考えることで環自身の構造についての情報が得られるというようなことも多い。環のジャコブソン根基の概念はそのようなものの例である。実際これは、環上の左単純加群の左零化域全ての交わりに等しい（「左」を全部いっせいに「右」に変えてもよい）。ジャコブソン根基がその環の左または右極大イデアル全体の交わりと見ることもできるという事実は、加群がどれほど環の内部的な構造を反映しているのかを示すものといえる。確認しておくと、可換か非可換かに関わらず任意の環において、すべての極大右イデアルの交わりは、すべての極大左イデアルの交わりに等しい。従って、ジャコブソン根基は非可換環に対してうまく定義することができないように見える概念を捉えるものとも見ることができる。
(引用終り)
省1
479: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)07:52 ID:WrfyH/cJ(13/22) AAS
>>466
こちらへどうぞ（＾＾
分からない問題はここに書いてね462
2chｽﾚ:math
480(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)08:00 ID:WrfyH/cJ(14/22) AAS
AA省
514: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)20:41 ID:WrfyH/cJ(15/22) AAS
ピンチになると、複数id使い分けか
分り易いやつだなｗ（＾＾；
515(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)20:44 ID:WrfyH/cJ(16/22) AAS
>>497
>正しくは「可換環R」
ああ、失礼
その積もりだったよ
まじで、>>481は、全部可換です
まあ、院試だったら、減点だろうな
皆さん、気を付けましょうｗ（＾＾；
517(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)20:50 ID:WrfyH/cJ(17/22) AAS
AA省
518(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)21:02 ID:WrfyH/cJ(18/22) AAS
ところでさｗ
>>378の問題でさ
「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
のあんたの証明は？
まさか、>>415の花木章秀の行列単位 Ekiを使う証明と同じってことなよな〜〜ｗｗ
自力で考えたんだろｗ？
え〜っ、花木章秀と同じで、行列単位 Ekiを使う証明だってｗｗｗｗｗ（＾＾；
省2
524: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)23:18 ID:WrfyH/cJ(19/22) AAS
>>495
それ、下記でやっているよね
分からない問題はここに書いてね462
2chｽﾚ:math
526(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)23:41 ID:WrfyH/cJ(20/22) AAS
AA省
527: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)23:43 ID:WrfyH/cJ(21/22) AAS
>>525
>群論を使った解釈をお願いする
分からない問題はここに書いてね462
2chｽﾚ:math
で、一括して議論頼むよ
分散する意味は、薄い
528(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/21(金)23:53 ID:WrfyH/cJ(22/22) AAS
>>518
（再録）
>>378の問題でさ
「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
のあんたの証明は？
まさか、>>415の花木章秀の行列単位 Ekiを使う証明と同じってことなよな〜〜ｗｗ
自力で考えたんだろｗ？
省15
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