[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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281(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/14(金)18:32 ID:OxWPj/ry(1/7) AAS
>>271 >>272 補足
(引用開始)
最後に左逆行列と右逆行列が存在すればそれらは一致し，したがって，逆行列はただ
1 通りに定まることを示しましょう．X は A の左逆行列，Y は A の右逆行列だとすると，
XA = I, AY = I ．
このとき，行列の積の結合則 (AB)C = A(BC) と単位行列の性質 IA = AI = A より，
X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
省29
282(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/14(金)18:32 ID:OxWPj/ry(2/7) AAS
>>281
つづき
（参考）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp
代数系への入門 松本 眞 広島大 平成 25 年 8 月 26 日
P45
2.4 群
省32
283(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/14(金)18:34 ID:OxWPj/ry(3/7) AAS
>>282
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
モノイド
単系（たんけい、英: monoid; モノイド）はひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造である。モノイドは単位元をもつ半群（単位的半群）であるので、半群論の研究対象の範疇に属する。
モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。モノイドの概念は計算機科学の分野でも、その基礎付けや実用プログラミングの両面で広く用いられる。
定義
省10
285(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/14(金)18:35 ID:OxWPj/ry(4/7) AAS
>>283
つづき
M の任意の元 a, b, c に対し、a ・ b = a ・ c が成り立つならば、常に b = c を帰結することができる
という条件を満たすときにいう。消約的可換モノイドは常にグロタンディーク構成によって群に埋め込むことができる。これは、整数全体の成す加法群（加法演算 "+" に関する群）を自然数全体の成す加法モノイド（加法演算 "+" に関する消約的可換モノイド）から構成する方法の一般化である。しかし、非可換消約的モノイドは必ずしも群に埋め込み可能でない。
消約的モノイドが有限ならば、実は群になる。実際、モノイドの元 x を一つ選べば、有限性より適当な m > n > 0 をとって xn = xm とすることができるが、これは消約律により xm-n = e（e はモノイドの単位元）となり、xm-n-1 が x の逆元となる。
モノイドの右消約元の全体あるいは左消約元の全体は部分モノイドを成す（単位元を含むのは明らかだが、演算が閉じていることはそれほど明らかではない）。これは、任意の可換モノイドの消約元の全体はかならず群に延長することができるということを意味している。
モノイド M は、M の各元 a がそれぞれ
省3
286(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/14(金)18:36 ID:OxWPj/ry(5/7) AAS
>>285
つづき
圏論との関係
モノイドは圏の特別なクラスと看做すことができる。実際、モノイドにおいて二項演算に課される公理は、圏において（与えられたただ一つの対象を始域および終域とする射の集合だけで考えれば）射の合成に課される公理と同じである。すなわち、
モノイドはただひとつの対象をもつ圏（単一対象圏）と本質的に同じものである。
もっとはっきり述べれば、モノイド (M, ・) はただひとつの対象をもち、M の元を射として小さい圏を成す（射の合成はモノイド演算 ・ で与えられる）。
これと平行して、モノイド準同型は単一対象圏の間の函手とみなされる。ゆえに、今考えている圏の構成は（小さい）モノイドの圏 Mon と（小さい）圏の圏 Cat のある充満部分圏との間の圏同値を与えるものになっている。同様に、（小さい）群の圏は、Cat の（モノイドの圏とは別の）ある充満部分圏に同値である。
省5
289: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/14(金)18:39 ID:OxWPj/ry(6/7) AAS
>>284
>Dulmage - Mendelsohn分解を実装しようと思っていますが、まずは2部グラフの最大マッチングを求めるHopcroft - Karpのアルゴリズムから
>実装しないといけないので大変です。
どうも
ご苦労さまです
”Dulmage - Mendelsohn分解を実装”は、すでに（既存の）実装があると思うので
そちらを参考にされるのが良いと思います
省2
290: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/08/14(金)18:40 ID:OxWPj/ry(7/7) AAS
>>287-288
なるほど、かなり調査済みなんですね
頑張ってください（＾＾
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