純粋・応用数学（含むガロア理論）3

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44: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/07/24(金) 20:13:33 ID:9ZL6gwFd

>>34
便所のウジ虫が、
そう恥ずかしがらなくても良い

>>32のID:u10ujjLWさんの発言はは、
下記前スレの
Ｎｏ859 ID:NBWlfeVB
とか Ｎｏ901 Ｎｏ859 ID:yoor8wi6
の方じゃないかな？

実際の荒しの状況は、下記の＜数学 必死チェッカーもどき＞より
ＩＤ:EymycYn9 07月20日 92 連投
ＩＤ:v7bzJjCy  07月19日 128 連投
とバッチリ証拠が残っているｗ（＾＾；

（参考）
前スレ：純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/854-901
854 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/07/19(日) 18:00:10.80 ID:NBWlfeVB
論破されたら荒らしになっちゃった、って感じ？

858 自分：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/07/19(日) 19:37:28.63 ID:2Y0qBKwb [5/9]
>>854
>論破されたら荒らしになっちゃった、って感じ？
どうも
まあそうかな
実のところ、もともと荒しなんだよね
でも、論破されて、余計荒れているってことだろうね（＾＾；

901 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/07/19(日) 22:24:01.91 ID:yoor8wi6
以前は数学っぽい議論もしてたと思うが？
論破されたやつが嫌がらせで荒らしとは。
みっともないわ。

＜数学 必死チェッカーもどき＞より、荒しの証拠
http://hissi.org/read.php/math/20200720/RXlteWNZbjk.html
2020年07月20日 > EymycYn9 1位/143ID中 Total 94 内純粋・応用数学（含むガロア理論）2 へは92

2020年07月19日 > v7bzJjCy 1位/109 D中 Total 132 内純粋・応用数学（含むガロア理論）2 へは128

なお（参考）＜前スレ＞へのリンク
純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/44

103: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/04(火) 13:45:45 ID:BTJ4/wae

tsujimotter氏の図解が良いね（＾＾；
天才を除く現数学科生は、目を通しておくと役に立つだろうな

https://tsujimotter.ハテナブログ/entry/definition-of-sheaf
tsujimotterのノートブック
日曜数学者 tsujimotter の「趣味で数学」実践ノート

2019-06-21
層の定義

最近、スキームの話をきっかけに、tsujimotterのノートブックにも「層」という概念が登場するようになりました。

ところが、これまでのブログ記事では、層の定義は頑なに避けられてきました。その理由は、私自身が理解できていなかったからです。

今回は、いよいよ層の定義をしてみたいと思います。今日のポイントは、具体例の計算です。具体例を通して、層の理解を目指しましょう。

目次：
前層（復習）
前層の例
層の定義（２つの公理）
例１：共通部分を持たない開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例１のまとめ
例２：共通部分を持つ開被覆
公理１：既約性条件
公理２：閉条件
例２　まとめ
完全列を用いた層の定義の言い換え
まとめ
補足１：U = Φ の場合
補足２：解析接続と閉条件
参考文献

層の定義においては、この２つの公理が本質的なわけですが・・・。

tsujimotterには、この２つの公理がまーーーーーーったくもってわからなかったのです。

正直言って意味不明でした。どちらもステートメントの意味がわからかったですし、何のためにこのような条件が課されているのかもわかりませんでした。

とはいえ、わからないとばかり言っていてもしょうがありません。どうにかして理解できないかと考えました。

いろいろ試行錯誤をしていくうちに、数学ガールという本の、とある有名なキャッチフレーズを思い出しました。

《例示は理解の試金石》

そうだ！
例示をしてみればわかるかもしれない！

そういうわけで、具体例の計算をしてみたのです。すると、不思議なことに、層の条件がなんだかわかってきた気がしました。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/103

131: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/08(土) 07:43:55 ID:wEGnwISi

>>130
おサルだな？（＾＾

＜赤ペン先生＞
１）
例が１つだけだと確実に間違う
　↓
例が１つだけだと間違う場合もある

２）
例えば群の例で、自然数しか思いつかないようなもん
　↓
例えば群の例で、整数しか思いつかないようなもん、かな？
∵自然数に入る演算で和を考えると、逆元の存在が保証されない（積でも同じ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
群 定義 （条件）３（逆元の存在）。（なお）群よりも広い概念として、（条件）1 を満たすものは半群、1 と 2 を満たすものはモノイドという。
(引用終り)
補足：まあ、自然数N mod pとでもしておけば、加群になったろう

３）
具体例は最低三つはあげること
　↓
具体例は、自分が良く分かっている事例を 最低一つあげること。多く手も良い
（補足）教科書でも、例は一つの場合多い。但し、事例は多くても可

なお、補足
>>全てが抽象的思考
>意味不明

これ
グロタンディーク伝説：彼の思考が最初から抽象的で、具体例で考察せずに一般論を構築していたことを示すものだという数学者もいる
の話です
有名な話ですよ。でも、グロタンディークは例外で、自分が天才でなければ まねしない方が良いと思う

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF
アレクサンドル・グロタンディーク
(抜粋)
逸話
このエピソードは、彼の思考が最初から抽象的で、具体例で考察せずに一般論を構築していたことを示すものだという数学者もいる。
(引用終り)

なお
https://dic.pixiv.net/a/%E8%B5%A4%E3%83%9A%E3%83%B3%E5%85%88%E7%94%9F
ピクシブ百科事典
赤ペン先生
ベネッセの「進研ゼミ」における在宅添削指導員のことを指す。転じて、マンガの指導・講座に付けられるタグ。
(引用終り)

Postscript
”群の例で、自然数”か
ご苦労様です

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/131

135: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/08(土) 12:18:12 ID:wEGnwISi

（補足）

群は、何も言わなければ、基本的には非可換で
可換群は、”アーベル”と言われる場合が多い

体は、可換体を単に体ということも多いという
非可換な演算を含む場合、斜体。非可換な積を持つ体を非可換体という

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4
アーベル群

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
体 (数学)
日本語の語法として、体の定義においてはその積が可換か非可換かについて必ずしも注視しないが、積が可換かそうでないかで目的意識や手法は大きく異なる。前者については可換体の項を（初学者にはこちらが取りつきやすいであろう）、後者については斜体（これは「必ずしも可換ではない」体の意味で用いられる）の項を参照されたい。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E4%BD%93
可換体
抽象代数学において、可換体（かかんたい、仏: corps commutatif）あるいは単に体（たい、英: field）[注 1]とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/135

149: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 09:37:18 ID:gEQArxFG

>>142 補足
>正：まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな

細かく書いたら切りが無い（＾＾
現高校数学で、行列を教えるかどうか知らないが
下記旧高校数学Cでは、行列を教えていた
後は、自学自習して下さい

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul1.html
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子
(抜粋)
［解説］
●　数については，
ａｂ＝０ならば，ａ＝0またはｂ＝０です。
(対偶で言えば，ａ≠０かつｂ≠0ならばａｂ≠０です。)

●　行列については，
ＡＢ＝０であっても，Ａ＝０またはＢ＝０　とは限りません。
(対偶で言えば，Ａ≠0かつＢ≠0でもＡＢ＝０となることがあります。)

※　教科書では，「Ａ≠0かつＢ≠0でＡＢ＝０となる行列Ａ，Ｂを零因子という」とされています。教科書としては，これ以上深入りしにくいと思いますが，授業で解説するには，逆に踏み込んだ方が(少なくともこのページの作者には)概念的に分かりやすい：
「Ａ≠0かつＢ≠0でＡＢ＝０となるときＡをＢの左零因子，ＢをＡの右零因子という。」

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%92%B0
行列環
(抜粋)
行列環 は、行列の加法および行列の乗法のもとで環をなす、行列の任意の集まりである。別の環を成分に持つ n×n 行列全体の集合や無限次行列環 (infinite matrix ring) をなす無限次行列のある部分集合は行列環である。これらの行列環の任意の部分環もまた行列環である。
R が可換環のとき、行列環 Mn(R) は行列多元環 (matrix algebra) と呼ばれる結合多元環である。この状況において、M が行列で r が R の元であれば、行列 Mr は行列 M の各成分に r をかけたものである。
行列環は単位元をもたない環上作ることができるが、終始 R は単位元 1 ≠ 0 をもつ結合的環であると仮定する。
2×2実行列 の多元環 M2(R) は非可換結合多元環の簡単な例である。四元数と同じく R 上 4 次元であるが、四元数とは異なり、行列単位の積 E11E21 = 0 からわかるように、零因子をもち、したがって可除環ではない。その可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 GL(2,R) をなす

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/149

155: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 13:03:05 ID:gEQArxFG

追加（下記では"正則"という語は出てこない）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4
行列群
(抜粋)
行列群はある体 K、通常は前もって固定される、上の可逆行列からなる群 G で、行列の積と逆の演算をもつ。より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる
線型群は体 K 上の行列群に同型な抽象群である、言い換えれば、K 上の忠実な有限次元表現をadmitする

任意の有限群は線型である、なぜならばそれはケイリーの定理（英語版）を使って置換行列によって実現できるからだ。無限群（英語版）の中で、線型群は面白く扱いやすいクラスをなす。線型でない群の例はすべての「十分大きい」群を含む。例えば、無限集合の置換からなる無限対称群

基本的な例
可換環 R 上の n × n 行列全体の集合 MR(n,n) はそれ自身行列の加法と乗法の下で環である。MR(n,n) の単元群は環 R 上の n × n 行列の一般線型群と呼ばれ、GLn(R) あるいは GL(n,R) と表記される。すべての行列群は一般線型群の部分群である

古典群
詳細は「古典群（英語版）」を参照
とりわけ面白い行列群はいわゆる古典群（英語版）である。行列群の係数の環が実数のとき、これらの群は古典リー群（英語版）である。基礎環が有限体であるとき古典群はリー型の群（英語版）である。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす

行列群としての有限群
すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理（英語版）と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい

表現論と指標理論
線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広範囲に渡って使われてきた。とくに表現論は群から行列群への写像を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への準同型を研究する

例
・たくさんの例にはリー群一覧（英語版）、有限単純群一覧（英語版）、単純リー群一覧（英語版）を見よ。
・2000年に braid group Bn がすべての n に対して線型であることが示されたときに長年の予想が解かれた[1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_group
Classical group

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/155

169: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 17:01:03 ID:gEQArxFG

>>160
>おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、

笑える
「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
　と
　Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」
”正則”と”零因子”は、関係あり（＾＾；

（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1262110917
数学の質問です Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない  dan********さん2011/5/12 yahoo
(抜粋)
Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
と
Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない
この２つが対偶の関係にあるということはわかるのですが、実際に証明で示すことができません(汗

ベストアンサーに選ばれた回答
たろうさん 2011/5/12
Aが零因子であるとは
AB = Oが成り立つ行列Bがあって, しかもA≠OかつB≠Oであるということです
[ Oは零行列を表します ]
このときもしもAが正則だとしたら
B≠Oのはずなのに
AB = Oの両辺にAの逆行列を掛けることでB = Oに変形できてしまいます
したがって
Aが零因子なら Aは正則でないことが分かります

http://izumi-math.jp/K_Oguri/insi/insi.htm
北数教 第４２回 数学教育実践研究会 −教育現場のおける基礎研究−
行列における零因子の構造
平成1４年８月3日(土) 北海道小樽桜陽高等学校 北海道石狩南高等学校 数学科教諭 小栗 是徳
(抜粋)
『零因子⇒逆行列をもたない』ことが予想されるので，これを背理法によって証明。（必要条件）

https://mathtrain.jp/seisokumatrix
高校数学の美しい物語
最終更新:2016/05/01
行列が正則であることの同値な条件と証明

n×n  の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：

・AB=BA=I（単位行列）となる行列 B が存在する
・detA≠0
・rankA=n
・KerA={0→}
・全ての A の固有値が 0 でない

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/169

173: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 18:00:47 ID:gEQArxFG

>>169 補足
”「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
　と
　Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」”

「正則でない正方行列は零因子である」も成立
よって、”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですなｗｗｗｗｗ（＾＾

（参考）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13193818648
線形代数学の問題です。
yuk********さん2018/7/2910:07:04
線形代数学の問題です。

正則でない正方行列は零因子であることを示せ。
を詳しく説明していただきたいです。
また、零因子も教科書見てもイマイチよくわかってないので解説していただけたら嬉しいです。

ベストアンサーに選ばれた回答
wgf********さん 2018/7/2911:15:58
正方行列A(≠O)が零因子であるとは. AB = Oが成り立つ正方行列B(≠O)存在することです

Aの余因子行列A~を用いて
AA~=|A|Eという関係式が成り立っている
仮定より、Aは正則ではないが故、|A|=0である
よってBとして、A~を選べばAB=Oとなり、Aは零因子です

（上と同じだが）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13131710908
Aが正則でなければ、Aは零因子である事は正しい
him********さん2014/7/10 yahoo
Aが正則でなければ、Aは零因子である事は正しいですか？
間違っていますか？

正しいならば証明を
間違っていれば反例をお願いします。

ベストアンサーに選ばれた回答
zg8********さん 2014/7/10

ＡとＡの余因子行列Ａ〜に対して
Ａ・Ａ〜＝ｄｅｔ（Ａ）Ｅ
が成り立ちます
これの証明は余因子展開を参照してください！
Ａが正則でなければｄｅｔ（Ａ）＝Ｏ
なので
Ａ・Ａ〜＝Ｏ
Ａは零因子となります

（余因子展開）
https://oguemon.com/study/linear-algebra/cofactor-expansion/
oguemon_com
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門
余因子と余因子展開
2019年9月16日

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E5%B1%95%E9%96%8B
余因子展開

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/173

180: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/10(月) 21:42:24 ID:gEQArxFG

>>169
証明、証明かｗ
いまどき、そんなものネット上にありますがなｗ（＾＾；
「高校数学の美しい物語」（＾＾

(引用開始)
https://mathtrain.jp/seisokumatrix
高校数学の美しい物語
最終更新:2016/05/01
行列が正則であることの同値な条件と証明

n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
1.AB=BA=I（単位行列）となる行列 B が存在する
2.detA≠0
3.rankA=n
4.KerA={0→}
5.全ての A の固有値が 0 でない
(引用終り)

”行列が正則であることの同値な条件と証明”とあるとおり

以下では1から5の同値性を証明していきます。2ならば1の証明については概要のみ示します。

5つの条件が同値であることの証明
まずは1と2の同値性を証明します。

まずは1と2の同値性を証明します。

1ならば2の証明
積の行列式は行列式の積と等しいので AB=I となるとき，
detAdetB=detI=1
よって detA≠0

2ならば1の証明
detA≠0 のとき，B=A~/detA
（ただし A~ は A の余因子行列，つまり ij 成分が「A から j 行目と i 列目を除いた行列の行列式に (?1)i+j をかけたもの」である行列）
とおくと，AB=BA=I となることが確認できる（→補足）。

次に2と3の同値性です。前提知識：ランク標準形

2 ←→ 3の証明
行列式が 0 でない行列 S,T をうまく取ってくると
SAT=(IOOO)
という形にできる（ランク標準形）。
略

次に3と4の同値性です。前提知識：次元定理

3 ←→ 4の証明
次元定理より，rankA=n?dim(KerA)
よって，rankA=n であることと KerA の次元が 0 であることは同値。

最後に2と5の同値性を証明することで5を仲間に入れます。

2 ←→ 5の証明
A の固有値を λ1,?,λn とすると，
detA=λ1?λn である（→補足）。
（行列式は固有値の積）

よって detA≠0 と，全ての A の固有値が 0 でないことは同値。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/180

184: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/11(火) 07:27:11 ID:iE83EVfi

>>173 補足

余因子と逆行列の関係は、下記の方が適切だったね
あと、下記「行列が正則である条件」を是非見て下さい

”行列が正則である条件
正方行列Aが正則である←→|A|≠0
つまり、行列式が0であるかを確かめることで、逆行列を持つかが簡単にわかります！”

ってことね
だから、非正則行列は、|A|＝0ってこと
|A|＝0のときに、Ａは零因子であるは、>>173の通り

「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと行列をしっていれば、すぐ分かること（＾＾；

（参考）
https://oguemon.com/study/linear-algebra/inverse-matrix/
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722
(抜粋)
前回の記事では、行列（正方行列）の余因子について扱いました。今回は、行列式と余因子を用いて逆行列を求める方法について扱います。

目次（クリックで該当箇所へ移動）
余因子から逆行列を求める
逆行列の公式
行列が正則である条件
逆行列を求める例
逆行列を求める2つの方法
おわりに

余因子から逆行列を求める
逆行列の公式

行列が正則である条件
ここで、ある正方行列が正則である（逆行列）を持つための条件について触れます。

逆行列を持つか否かは、行列式の値を確認することで簡単に確かめられます。

行列が正則である条件
正方行列Aが正則である←→|A|≠0
つまり、行列式が0であるかを確かめることで、逆行列を持つかが簡単にわかります！

理由は簡単。

正則 → |A|≠0
Aが正則であるとき、A?1が存在するので、行列式の性質より、
|A||A?1|=|AA?1|=|E|=1
が成り立ちます。
2つのスカラーの積が0でないということは、掛け合わせている2つの値は共に0でないの
で、|A|≠0が言えます。

|A|≠0 → 正則
先ほど出てきた行列1/|A| t[Aij]が定義でき、これを左右のどちらから掛け合わせてもEが導かれます。
よって、逆行列を持つ、すなわち正則であると言えます

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/184

199: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/11(火) 17:11:49 ID:fHpBNDDC

>>194 補足

１．理解が大事。その通りです
２．大学入試などでは、応用問題が理解の試金石なのですが
３．しかし、数学科院試レベルになると、あまりに難しい問題を出すと、かえって差がつかないおそれがあるので、基本問題も混ぜたり
　で、あんまし理解していなくても、「証明の基本パターン」を暗記して、吐き出すことで、点は取れる問題もあるでしょうね。εδとかねｗ（＾＾；
　でも、暗記を吐き出して、「証明のパターン」を当てはめは出来ても、本当に理解しているのかどうか？ｗｗｗ
４．しかし、ペーパーテストでは、「本当に分かっているの？」はムリなのです
　「形式的が解答が合っていればOK」になる
　それを補うのが、「面接」ってやつですけどね
　もっとも日本の場合、面接まで行くと、よほどでないと落とされないとか言われるのです

５．学校の試験はそれで良いけど、実社会では、試験とは違う。真の実力が見える
　暗記の証明を吐き出せるかどうかとは、別の「真の実力」がね
６．いまどき、逆行列とか、Excel関数にある
　だから、求められている能力は、Excel関数とかCでもフォートランでもいいけど、それを使いこなせる力と
　コンピュータが吐き出した結果（アウトプット）のある程度の是非判断能力（例えば、桁ずれしてないかとか、式の間違いや大きなインプットミスしてないかとかのチェック）
　（「これ小数点一桁ずれているんじゃない？」ってやつ）

駒かい証明の前に、もっと全体像を理解をしておくのが理想です
「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」を理解できていない人が、
細かい証明に走る
わけわからず、証明を丸暗記しようとする

いまどき、そんなことは求められていないと思いますよ、実社会ではね（数学科の院試は別として）
（手計算はせいぜい3x3マトリックスくらいは、理解のためにやるとして、
　もっとエクセルとかPC上のソフト（数式処理も可）で手を動かした方が良いと思いますね。21世紀、ビッグデータの時代は）

（参考）
https://bellcurve.jp/statistics/blog/15368.html
統計WEB BellCurve
Excel関数による行列の転置・積・逆行列・行列式の計算方法 2017/12/20

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/199

251: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/13(木) 07:39:11 ID:bF50UmjA

>>238
>結局、あなたの引用した文章でも行列の理論から導いてる

うむ、良い指摘です。100点満点の5点をあげよう（＾＾

さて、纏めておこう
１．( >>236より)零因子は、主に環の中に存在し、基本的に 群の中には存在しない(零がない)
２．可換環では、「（可換）体は割り算が自由にできることから整域となる（つまり零因子を持たない）」
３．( >>237より)非可換環では、ちょっと事情が違う
　「非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない」（下記）
４．「ウェダーバーンの小定理によって、すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である」
５．従って、例外的に（無限）斜体（無限可除環）の場合では、零因子が含まれる可能性がある
６．但し、行列群では、非可換でも「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」
　（証明は、 >>173などご参照（行列式|A|が0か否かで異なる））
７．なお、環の中では、左零因子a（ax=0 で、a≠0 かつ x≠0 ）に対し、左逆元 a^(-1)a＝1(単位元)の存在は両立しない
　（∵ ax=0の両辺に、a^(-1)を作用させると、左辺は a^(-1)ax＝x で、右辺は a^(-1)0＝0。これは、x≠0に矛盾（なお、結合則を使った）。これから、可換の場合には、零因子と逆元の存在は、存在しないことが、すぐ分かる。
　なお、「体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る」（下記 逆元 wikipediaより）ので、正方行列 Mは、行列式が 0 以外のとき零因子を持たないし、零因子になれない！！ ）
８．また、5の場合において、例えば群Gに含まれる元Aに対して、（右又は左）零因子Bが存在して、（例えば右として）AB＝0（零元）となるとき
　Bは、Gに含まれてはならない（∵ AB＝0で0∈Gとなると、0には逆元が存在しないので群の定義に矛盾。左因子も同じ）（>>149や下記など）
　冪零元（下記）も、同様の理由で含まれてはならない

つまり、環の中では、零因子と逆元の存在は、密接に関連しているのです！！！
　なお、上記５項辺りは、論文ネタかもしれないね（再録「非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない」（下記））（＾＾；

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/251

281: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/14(金) 18:32:21 ID:OxWPj/ry

>>271 >>272 補足

(引用開始)
　最後に左逆行列と右逆行列が存在すればそれらは一致し，したがって，逆行列はただ
1 通りに定まることを示しましょう．X は A の左逆行列，Y は A の右逆行列だとすると，
XA = I, AY = I ．
このとき，行列の積の結合則 (AB)C = A(BC) と単位行列の性質 IA = AI = A より，
X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
よって，X = Y，したがって，XA = AX = I が成り立ちます．

逆行列の性質
AA-1 = A-1A = E
実際，AX = E のとき，XY = E なる Y の存在を仮定する。
XA = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E
したがって，AX = E かつ XY = E なる Y が存在するならば，XA = E
これは，右逆行列が存在するならば，それは左逆行列も存在して一致するという，逆行列
の性質の証明には不十分である。A に対する X の存在は仮定しているが，それだけで X に
対する Y の存在がいえないからである。
(引用終り)

ここ
重要変形テク
1)X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
　同じだが
　X = XE = X(AY) = (XA)Y = EY = Y．
2)A = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E

さて
行列では、AX = E のとき，XAを考えると
XA＝XEA＝X(AX)A＝X(AX)A＝(XA)(XA)＝(XA)^2
これから
(XA)^2-XA＝0（零行列）
(XA)(XA-E)＝0
Xが零因子でなく、従って、XAが零因子であることを認めると、
XA-E＝0より
XA＝E 成立（途中、結合則と分配則などを使った）

この証明は、行列だから可能です
一般の代数系では、できない。（下記、松本　眞 広島大などご参照）

なので、群では、左逆元と右逆元との存在を仮定し（それは即ち、モノイドでは一致するが）、それらを公理として与えるのです（松本　眞 広島大などご参照）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/281

311: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/15(土) 10:54:14 ID:I4zLJ0eW

>>300 補足

モノイドの場合は、下記 花木章秀 信州大 問題 22で
二つの元 fとgzで
gz・f = idS （単位元。 問題では idN と書いてあるが、解答と不一致となっているのは、ご愛敬です（＾＾；　）
一方、 f・gz ≠ idS （解答記載の通り）
なるほど、なるほど（＾＾

（参考）
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀 信州大
問題集
version 20120704
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/intro/intro_mondai_20120704.pdf
代数入門問題集 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド

P2
（問題）
22. A を 1 を単位元とするモノイドとする。
a ∈ A に対して、b ∈ A が a の 左逆元であるとは、ba = 1 となることとする。
また b が a の 右逆元であるとは、ab = 1 となることとする。

A を N から N への写像全体の集合とする。
A は写像の合成を演算として、恒等写像 idN を単位元とするモノイドになる。
f ∈ A を f(a) = a + 1 で定める。
f は左逆元をもつが、右逆元をもたないことを示せ。
また、z ∈ N に対して gz ∈ A を
gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
or
=z (a = 1)
で定める。
gz は右逆元をもつが、左逆元をもたないことを示せ。

(解答)
代数入門問題集・解答例と解説 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド

P15
22. h が f の右逆元であるとすると fh = f ・ h = idS である。しかし f は全射ではないので、これは矛盾である。
よって f は右逆元をもたない。
k が gz の左逆元であるとすると kgz = k ・ gz = idS である。しかし gz は単射ではないので、これは矛盾である。
よって gz は左逆元をもたない。
すぐに分かるように gzf = idS が成り立ち、よって gz は f の左逆元、f は gz の右逆元である。
これによって左 (右) 逆元は、存在しても一意的ではないことも分かる。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/311

314: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/15(土) 17:41:47 ID:I4zLJ0eW

>>311 トリビア蛇足

花木章秀 信州大より
モノイドの場合
gz・f = idS （単位元）
f・gz ≠ idS （解答記載の通り）

１）まず
A は写像の合成を演算としてモノイドで、恒等写像 idS を単位元とする
f ∈ A を f(a) = a + 1
z ∈ N に対して gz ∈ A を
gz(a)
=a - 1 (a >= 2)
　or
=z (a = 1)
で定めている

２）22の解答にある 「h が f の右逆元であるとすると fh = f ・ h = idS である。しかし f は全射ではないので、これは矛盾である。よって f は右逆元をもたない」
　これ、分かる人には分かるが、まず、恒等写像 idS ：N→Nで は、1を1に、2は2に・・・と写す恒等写像で、”全単射”です。これ言われてみれば自明

３）さて、f(a) = a + 1は、何をしているかというと、f：N→N+1に移す
　ここで、Nは1から始まる自然数を考えていて、N+1には、1は含まれないので、全射ではない
　gz(a) =a - 1 (a >= 2) or =z (a = 1) 、これは何をしているかというと、gz：N+1→Nなのです（但し、N+1には、a = 1は含まれていない）
　つまり、gzは、N+1→Nで、N+1をNに引き戻すことができます
　（なお、gz：N→Nの場合には、Nには、a = 1が含まれるので、gz：1→z となって、zのところがダブりで、単射性が崩れている写像です

４）で、上記２）で、ある写像ｈ：N→N（Nの部分集合の場合もあり）があって、その像はN全体かNの部分集合かです。そのいずれにせよ、 f は全射ではない。写像の合成fhも全射にはならない。よって、合成fhは恒等写像 idSではない！

５）同じ論法で、>>311の「k が gz の左逆元であるとすると kgz = k ・ gz = idS である。しかし gz は単射ではないので、これは矛盾である」も言える

６）花木解答に記載の「gz・f = idS」は、上記３）で述べた通りです
　f・gzはどうかと言えば、gz：N→Nでzのところがダブりですが、像はNそのものなのです。そして、f：N→N+1で、その像は 1 は集合N+1に含まれないので、「f・gz ≠ idS」という花木解答です

トリビア蛇足でした
これは、自分では思いつかないね
（実際、gz・f = idS → f・gz ＝ idS が証明できないかを（モノイドなどにおいて）考えてみたが、出来なかった。反例があるんだね。思いつかなかったな）
（＾＾；

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/314

332: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/16(日) 13:24:31 ID:0IMtsn2Y

>>330
>キミの云う「密接な関係」とは具体的にはどんな関係？

説明しましょう（＾＾
そもそも、私が>>149で、下記を発言したのです
(引用開始)
下記旧高校数学Cでは、行列を教えていた
後は、自学自習して下さい
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix_mul1.html
高校数学 >> 旧高校数学C
*** 行列 ***
■零因子

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子
(引用終り)

そこで、おサルが、>>160で下記発言
(引用開始)
なんかまたトンチンカンなこといってるな
零因子の話なんかまったくしてないぞ

おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
重要な可逆元のところ読み飛ばすなよ
(引用終り)

で、私は>>169で下記反論をした
(引用開始)
>>160
>おまえさあ、零因子とか関係ないことばっかり読んで、
笑える
「Ａが正則ならば、Ａは零因子ではない
　と
　Ａが零因子ならば、Ａは正則ではない」
”正則”と”零因子”は、関係あり（＾＾；
(引用終り)

まとめると、出発は、行列の零因子と正則（逆元の存在）との関係だよ
で、この時点で、おサルは、行列の零因子と正則（逆元の存在）との関係を知らなかった
（”なんかまたトンチンカンなこといってるな 零因子の話なんかまったくしてないぞ”でしたねｗ）

でも、両者は同値（>>200ご参照）
で、この話は、抽象代数学 群・環・体（下記蟹江など）でも成立します（＾＾

（参考）
http://kanielabo.org/essay/
エッセイの部屋
http://kanielabo.org/essay/daisu.pdf
代数 / 群・環・体 蟹江幸博 数学セミナー6月号 (2003.6.1), pp.38-43.

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13168979413
数学の代数学について
sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo
可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/332

348: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/16(日) 19:44:12 ID:0IMtsn2Y

>>200 補強
(引用開始)
１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
　（上記１を式変形して）
２．A・t[Aij] ＝|A| （正則行列を含む全正方行列の場合）
３．正則行列とは、|A|≠0 （行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）

つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです

逆に言えば、上記3つの要点を理解せずして、
”正則とは何ぞや”を理解したとは言えない
(>>184より)
https://oguemon.com/study/linear-algebra/inverse-matrix/
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722
(引用終り)

追加参考
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/ToshizumiFukui.html
福井 敏純
埼玉大学　大学院理工学研究科
数理電子情報専攻　数学コース
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/
講義関連 福井 敏純
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/Linear_algebra.pdf
線形代数学講義ノート
福井 敏純
2020 年 3 月 23 日
(抜粋)
P20
1.2.4 逆行列

AX = E を満たす行列 X を A の逆行列 (the inverse matrix of A) といい A^-1 で表
す．A^-1 が存在するとき，A は可逆である (invertible) という．Y A = E を満たす行列
Y が存在すればそれは X に等しい．
Y = Y (AX) = (Y A)X = X
A^-1 が存在すれば，AX = E を満たす行列 X は A^-1 でなければならない（逆行列の一意性）．
X = EX = (A^-1A)X = A^-1(AX) = A^-1E = A^-1
実は AX = E をみたす行列 X が存在すれば，XA = E を満たす事*3を後で示す．
逆行列をもつ行列を正則行列 (a regular matrix) という．
例 1.2.9. 可逆な行列 Z が冪等性（即ち Z^2 = Z）を満たすならば Z は単位行列である．
Z = (Z^2)Z^-1 = ZZ^-1 = E となるからである．

*3 Z = XA が可逆ならば Z^2 = XAXA = XA = Z なので XA = Z = E がわかる．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/348

400: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/18(火) 10:34:46 ID:6E5Q9lbT

>>399
Tさんかな？
いまだに時枝が理解できない粘着さん
ずっと以前に、名前の議論は、私はしないと言ったはず
覚えているかい？

見ず知らずのだれか他人に迷惑をかけるかもしれないからね
君もつまらん、名前の議論は止めるがいい
もっとも、自分は、別に時枝にしろ、正方行列の成す群にしろ、零因子と逆元の関係にしろ、間違ってはいないから、特定されたところでなんの痛痒も感じないがね

ところで、本題だが
１．単に群と言ったとき、群は基本非可換であり、非可換と可換とを含む名称とされる場合が普通。可換の場合は、そういわなければならない
２．その流れで、単に環と言ったとき、環は非可換と可換とを含む名称とされる場合が普通。可換の場合は、そういわなければならない
３．イデアルもまた同じだ。環は非可換と可換とを含む。だから、イデアルも、左右の区別をするのが普通だ
　単に、イデアルと言った場合には、右側と左側と両側の３者を含む、総称を意味するのが普通です
　そして、成書などで、例えば、この章では両側イデアルしか扱わないというときに、「両側」を繰り返し書くのも大変だし、読む方に誤解が内範囲で、断った上で、両側イデアルを単にイデアルと略して書く場合がある
　しかし、断らずに、両側イデアルを単にイデアルと書くのは如何なものか（そういうテキストや論文は見たことが無い）
　そして、今回は特に問題文だ。問題文「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
　において、但し書き”イデアルは両側イデアルのこと”のような断りを書きを落とすと、それは余計にまずいぞ
４．鈴木　咲衣ちゃん>>389の書き方も、問題ありだな。これ、東工大の初学者向けの講義テキストみたいだが
　鈴木　咲衣ちゃんのテキストで学んだ学生が、ハナタカで「体には自明なイデアルしかない」（>>383）と言ったら、「おまえ、それ本当は両側イデアル」とか言われ、赤っ恥にならないとも限らない
　ちょっと、教育的配慮に欠けると思うよ。まだ若いな、鈴木　咲衣ちゃん

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/400

415: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/18(火) 21:04:51 ID:aMkYF6+a

>>413
(引用開始)
で、同じ筋で、>>385 「行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の両側イデアルは自明なもの〔つまり、｛0｝とＭ_ｎ（Ｒ）〕だけであること」を証明する問題
これも、行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）の中に、I≠ {0} なる（両側）イデアルIがあったとして （ここに{0}は、零行列）
E∈I（ここに、Eは単位行列）を、言う筋かな（>>385のyahoo記事回答より）
E∈Iが言えれば、上記と同じように、I＝行列環Ｍ_ｎ（Ｒ）となるから（＾＾
(引用終り)

おなじみ、花木章秀先生
問題は、下記の問26で、解答は 25の(4) に同じ
解答 25の(4) は、”0 ≠ A = (aij) ∈ I  ”で”ある aij  は 0  ではない”。これを使って、Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I  なる行列を構成している。
行列Ekｌ が構成できるから、 I = R か
単位行列とは、ちょっと違う筋だね

http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/
環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/files/algex_3.pdf
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
（下記に同じ）
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/main/index.html
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日

問
25.R  を C  上 2  次全行列環 M2(C)  とする。また Eij  で (i,j) - 成分のみが 1  で他の成分がすべて 0  である R  の元を 表すことにする。
(3) Eij  で生成される R  の (両側) イデアル、すなわち REijR  を求めよ。
(4) R  のイデアルは 0  と R  以外にないことを示せ。 ( 0  と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)

解答
(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2  に対して
E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
となるので REijR = R  である。
(4) I  を R  の 0  でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I  とすると、ある aij  は 0  ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2  に対して
Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I
なので I = R  である。

問
26．K  を体 (例えば C ) とする。 K  上 n  次全行列環 Mn(K )  は単純環であることを示せ。
解答
問25 (4) と同様である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/415

423: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/19(水) 00:03:34 ID:BSgO+qBk

>>420
>体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。
>そんな入門レベルすら分からずに

また、おサルのアホ伝説が、また一つできたなｗ（＾＾；

おまえの問題文(>>378)「実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。」
で、実数体Rは確かに可換だが、問題文の”イデアル”が、両側イデアルであるという根拠が、”体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無い”
からというつもりなの？ なんですかね、それはｗｗｗ

そもそも、日本では、普通単に”体”と言えば、可換体と非可換体（斜体）の両方を含意するよ（下記）
ほんと、代数弱いね、あなたは
代数は、入門レベルで終わっちゃったんだね、あなたはｗｗ（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
体 (数学)

数学において、体（たい）という用語は、四則演算が（零で割ることを除いて）自由に行える代数系に用いる。日本語の語法として、体の定義においてはその積が可換か非可換かについて必ずしも注視しないが、積が可換かそうでないかで目的意識や手法は大きく異なる。前者については可換体の項を（初学者にはこちらが取りつきやすいであろう）、後者については斜体（これは「必ずしも可換ではない」体の意味で用いられる）の項を参照されたい。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)

斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4]（たげんたい、division algebra, algebre a division; 可除多元環）と呼称することも多い[注 2]。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、non-commutative field, corps non commutatif）という[2]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/423

428: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/19(水) 07:54:59 ID:BSgO+qBk

>>415 補足
(引用開始)
http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/main/index.html
代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日
問
25.R  を C  上 2  次全行列環 M2(C)  とする。また Eij  で (i,j) - 成分のみが 1  で他の成分がすべて 0  である R  の元を 表すことにする。
(3) Eij  で生成される R  の (両側) イデアル、すなわち REijR  を求めよ。
(4) R  のイデアルは 0  と R  以外にないことを示せ。 ( 0  と自分自身以外にイデアルをもたない環を単純環という。)
解答
(3) 任意の 1 <= k,ｌ <= 2  に対して
E = Eki Eij Ejl ∈ REij R
となるので REijR = R  である。
(4) I  を R  の 0  でないイデアルとする。 0 ≠ A = (aij) ∈ I  とすると、ある aij  は 0  ではない。このとき、 任意の 1 <= k,ｌ <= 2  に対して
Ekｌ = aij^-1 EkiAEjｌ ∈ I
なので I = R  である。

問
26．K  を体 (例えば C ) とする。 K  上 n  次全行列環 Mn(K )  は単純環であることを示せ。
解答
問25 (4) と同様である。
(引用終り)

補足
https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/lin1/L1.pdf
線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治
(抜粋)
P1
(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位という
問題 1 (1pt.) 行列単位をすべて集めたもの {Eij}^n i,j=1 は, ベクトル空間 Mn(K) の基底であることを示せ.
P2
問題 2 (2pt.) Mn(K) の行列単位 {Eij}^n i,j=1 に対して, 次が成り立つことを示せ:
EijEkl = δj,k Eil.
つまり二つの行列単位を掛けると,
真ん中の二つの文字が異なれば 0 になり,
同じであればそれが縮約された行列単位になる.
(引用終り)

（補足）EikEkl = Eil ってこと。k≠i なら0（零行列）です
あと、上記 花木(4) 0 ≠ A = (aij) ∈ Iで
EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で
それは、（k,j)の位置のみがaij成分を持ち、他は0となる行列です

よって、aij^-1 EkiAの部分は、Ekjです
従って、aij^-1 EkiAEjｌ ＝EkjEil＝Ekl が導かれる

klの組は、任意

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/428

434: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/19(水) 16:01:36 ID:bglsLP4c

>>423
>>体は可換環なので右/左/両側を区別する必要無いですねー。
>>そんな入門レベルすら分からずに
>また、おサルのアホ伝説が、また一つできたなｗ（＾＾；

なるほど なるほど、下記の雪江明彦 「私の教科書の用語について」が参考になるかも
”永田の可換体論では体，可換体という用語だが，今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思う”
だって
なるほどね

なお、”ScienceDirect Commutative Field” ”Handbook of Algebra”1996 で
”each (not necessarily commutative) field is a semifield”という用法もあるね
「用語は難しい. きっとすべての人を満足させることはできないだろう」（下記 雪江明彦より）

また、下記”Field Theory by Wulf-Dieter Geyer”の ”2. Historical remarks about the concept of field”が、面白かった

（参考）
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/yougo.pdf
私の教科書の用語について 雪江明彦 2012/7/7
代数の教科書を書いたとき，用語については大変迷った. 自分なりの結論をここで書いておく.

2. 「可除環」か「斜体」か
最初に代数の教科書を書いたとき，3 巻全部書いて出版社に送ったのだが，最初の2 巻が出た後，
3 巻目を出すときになって，これだけの量を書いて
「ヴェーダーバーンの定理」について書いてないのはおかしいと思って書き足した. それまでは可換体し
か扱うつもりがなかったので，「体」，「可換体」で, しかし可換体のことを「体」と呼ぶことにしたが，
3 巻で「必ずしも可換でない体」の呼び方が必要になったので，1，2 巻を増刷したときに
ここで用語を変えなかったらもう変えられないと思って初版第1 刷を買われた方には申し訳ないと思ったが
用語を変えることにした. さて「必ずしも可換でない体」のことを何と呼ぼう?

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/434

467: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/21(金) 07:32:22 ID:WrfyH/cJ

>>448 補足
(抜粋)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
性質・諸概念
逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の（左・右・両側）イデアル I は D の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに I は D 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的（結合）環は斜体となる（右イデアルに関する条件からも同じことがいえる）。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。
(引用終り)

これ、下記アルティン・ウェダーバーンの定理が参考になるな
「可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型である」
　>>434にある 雪江明彦 3 巻目 「ヴェーダーバーンの定理」がこれ
手元の雪江本では、P350の定理7.5.15ですな （殆ど読んでないけど（＾＾ ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
アルティン・ウェダーバーンの定理
(抜粋)
定理の主張
定理は、（アルティン）[注釈 1]半単純環 R はある有限個の ni 次行列環 Mni(Di) の直積に同型であると述べている[1]。ここで ni は正の整数、 Di は可除環であり、 両者とも添字 i の置換を除いて一意的に決定される。とくに、任意の単純左または右アルティン環は可除環 D 上の n 次行列環に同型で、n と D は両方とも一意的に決まる[2]。

直接の系として、アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上有限次元であるすべての単純環（単純代数）は行列環と同型であることを意味する。これはもともと J. H. M. Wedderburn (1908) の結果である。E. Artin (1927) は後にそれをアルティン環のケースに一般化した[注釈 2]。

R が可除環 E 上の有限次元単純代数であれば、D は E に含まれる必要はないことに注意せよ。例えば、複素数体上の行列環は実数体上の有限次元単純代数である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/467

534: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/22(土) 07:59:53 ID:qg6YAvVW

>>526 補足
もう一度、零因子と逆元との関係を纏めておこう
まず、実数Rを成分とするn×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)については、下記ご参照

１．n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) で、ここには0（零行列）と零因子が含まれている
２．Mn(R) から 0（零行列）と零因子を除けば、n×n正則行列全体の成す一般線形群GLn(R)になる
３．行列環 Mn(R) においては、零因子か（逆元を持つ）正則行列かは、その行列式で分けられる
　即ち、行列A∈Mn(R)で、行列式｜A｜＝0なら零因子、行列式｜A｜≠0なら正則行列となる
　だから、零因子で無ければ、（逆元を持つ）正則行列である

だから、n×n行列全体の成す行列環 Mn(R) において、零因子と正則行列は、密接に関係しているのです！（＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/General_linear_group
General linear group
(抜粋)
In mathematics, the general linear group of degree n is the set of n×n invertible matrices, together with the operation of ordinary matrix multiplication. This forms a group, because the product of two invertible matrices is again invertible, and the inverse of an invertible matrix is invertible, with identity matrix as the identity element of the group. The group is so named because the columns of an invertible matrix are linearly independent, hence the vectors/points they define are in general linear position, and matrices in the general linear group take points in general linear position to points in general linear position.

To be more precise, it is necessary to specify what kind of objects may appear in the entries of the matrix.
For example, the general linear group over R (the set of real numbers) is the group of n×n invertible matrices of real numbers, and is denoted by GLn(R) or GL(n, R).

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/534

581: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/22(土) 15:07:18 ID:qg6YAvVW

>>578
下記投稿は、零因子と逆行列の関係を知っていたら、下記の意図が分かるはずだがなｗｗｗ
（>>149より再録）
>正：まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな

※　教科書では，「Ａ≠0かつＢ≠0でＡＢ＝０となる行列Ａ，Ｂを零因子という」とされています。
「Ａ≠0かつＢ≠0でＡＢ＝０となるときＡをＢの左零因子，ＢをＡの右零因子という。」

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/581

604: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/22(土) 22:48:58.46 ID:qg6YAvVW

>>581 補足

雪江の代数学3 書棚の肥やしでつんどくだったが、7.5をちらみしてみると、ヤコブソン根基が出てくる
下記だが、ジャコブソンだ？ 普通、雪江の呼び方だろうが（＾＾
ヤコブソン根基は、直感的な議論としては、「ベキ零根基によく似ている。環論において「悪い」という意味はいくつか考えられるが、その一つは零因子であることである。それよりより広い意味での「悪い」という概念は、単元でない（乗法について可逆でない）ことである」
か、なるほど（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%B3%E3%83%96%E3%82%BD%E3%83%B3%E6%A0%B9%E5%9F%BA
ジャコブソン根基
(抜粋)
環論において、環 R のジャコブソン根基あるいはヤコブソン根基（英: Jacobson radical）とは、すべての単純右 R-加群を零化する R の元からなるイデアルである。定義において「右」の代わりに「左」としても同じイデアルが得られるので、この概念は左右対称である。環のジャコブソン根基をよく J(R) あるいは rad(R) と表すが、他の環の根基との混乱を避けるため、この記事では前者の表記を使う。ジャコブソン根基はジャコブソン（英語版）にちなんで名づけられた。彼は初めてそれを任意の環について(Jacobson 1945)で研究した人である。

環のジャコブソン根基には内在的な特徴づけが数多くあり、そのいくつかは単位元をもたない環に対する定義としても採用することができる。加群の根基はジャコブソン根基の定義を加群を含むように拡張する。ジャコブソン根基は多くの環や加群の理論の結果、例えば中山の補題において、際立った役割を果たす。

直感的な議論
他の環の根基のように、ジャコブソン根基 は「悪い」元の集まりとして考えることができる。この場合「悪い」性質はこれらの元は環のすべての単純左・右加群を零化するということである。比較の目的のため、可換環のベキ零根基 √0 を考えよう。これはすべてのベキ零元からなる。実は任意の環について、環の中心に入っているベキ零元はジャコブソン根基にも入っている[1]。なので、可換環については、ベキ零根基はジャコブソン根基に含まれている。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/604

626: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/23(日) 16:06:25.22 ID:ehdjUjVy

>>614
>行列環 Mn(R)で、零因子を含むヤコブソン根基（>>604）J(Mn(R)を作って
>商環 Mn(R)/J(Mn(R)) 作れば J(Mn(R)/J(Mn(R))) = {0} が言えて（>>605）
>零因子を含まない環が、できるのか

これも撤回（＾＾；
上記の話は、可換環 R の話みたい（>>619-620ご参照）

行列環が、Division ringになる条件
うん、これか
"Relation to fields and linear algebra
In fact the converse is also true and this gives a characterization of division rings via their module category: A unital ring R is a division ring if and only if every R-module is free.[7]"
（ unitary ring、単位的環、単位環 ）
むずいｗ（＾＾；

https://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring
Division ring

Relation to fields and linear algebra
All fields are division rings; more interesting examples are the non-commutative division rings. The best known example is the ring of quaternions H. If we allow only rational instead of real coefficients in the constructions of the quaternions, we obtain another division ring. In general, if R is a ring and S is a simple module over R, then, by Schur's lemma, the endomorphism ring of S is a division ring;[6] every division ring arises in this fashion from some simple module.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/626

630: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/23(日) 16:10:01.39 ID:ehdjUjVy

>>629
つづき

（参考：2N×2N matrices だって（＾＾　）
https://arxiv.org/pdf/hep-th/9906065.pdf
Matrix Representation of Octonions and Generalizations 1999
Jamil Daboul 1 and Robert Delbourgo
Abstract
We define a special matrix multiplication among a special subset of 2N×2N matrices, and study the resulting (non-associative) algebras and their subalgebras. We derive the conditions
under which these algebras become alternative non-associative and when they become associative.
In particular, these algebras yield special matrix representations of octonions and complex numbers; they naturally lead to the Cayley-Dickson doubling process. Our matrix representation of octonions also yields elegant insights into Dirac’s equation for a free particle. A few other results and remarks arise as byproducts.

（追加参考）
”例えば、可換体上の 2 次以上の全行列環は、（M(n, R) の任意のイデアルは、R のイデアル I に対して M(n, I) の形であるから）非自明なイデアルを持たないが、非自明な左イデアル（すなわちある固定された列が 0 である行列全体の集合）を持つ。”
か、なるほど
これは、うまい例だな、覚えておこう
行列A∈R、B∈I ｜Bは、ある固定された列が 0 である行列
AB∈I｜ABは、ある固定された列が 0 である行列
ってことか

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E7%92%B0
非可換環

単純環
詳細は「単純環」を参照
単純環 (simple ring) とは、自身と零イデアルの他に両側イデアルを持たない、零環でない環である。単純環は必ず単純多元環 (simple algebra) と考えることができる。環としては単純だが加群としては単純でない環が存在する。
例えば、可換体上の 2 次以上の全行列環は、（M(n, R) の任意のイデアルは、R のイデアル I に対して M(n, I) の形であるから）非自明なイデアルを持たないが、非自明な左イデアル（すなわちある固定された列が 0 である行列全体の集合）を持つ。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/630

674: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/25(火) 16:00:13.57 ID:2yNZ8A8t

>>673
つづき

加群
詳細は「環上の加群」を参照
ベクトル空間が体に対するものであるように、加群 (英: modules) の概念は環に対するものである。これはベクトル空間の公理において体 F とするところを環 R で置き換えることで得られる[101]。加群の理論はベクトル空間のそれと比べて（環の元に必ずしも乗法逆元が存在しないことで）より複雑なものになっている。

関連項目
・ベクトル空間代数（英語版） - 体の概念を予め要求せずにベクトル空間を定義する、ベクトル空間の抽象代数学的取扱い。

https://mathoverflow.net/questions/32397/vector-spaces-without-natural-bases
Vector spaces without natural bases Mar 29 '16 at 22:39

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)

定義
（実数全体 R や複素数全体 C のような）体 F 上の線型空間 V の基底 B とは、V の線型独立な部分集合で、V を張る（生成する）ものを言う。より具体的には、B = {v1, …, vn} をベクトル空間 V の有限部分集合とするとき、B が基底であるとは、条件として

線型独立性
a1, …, an ∈ F に対して a1v1 + … + anvn = 0 が成り立つならば、a1 = … = an = 0 でなければならない。
全域性
V のどんな元 x も、適当な a1, …, an ∈ F を選んで x = a1v1 + … + anvn が成り立つようにできる。
を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 ai は基底 B に関する x の座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。

上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/674

675: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/25(火) 16:56:18.67 ID:2yNZ8A8t

>>674 補足

”質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？”
余談ですが、実数体Rベースの有限次元ベクトル空間だと、基底は必ずあるのですね

Rが体や斜体ではない一般の環などになると、基底を持つ持たないは、結構ややこしいということですね
なるほど

（参考）
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2010/linear2/
線形代数学第二B （2010年度） 山田光太郎  2011年2月11日
講義資料
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2010/linear2/20101111.pdf
線形代数学第二B 講義資料5 山田光太郎 東工大 2010 年11 月11 日(2010 年11 月11 日訂正)
(抜粋)
P7
5.3 例
前回みたように
F = {f | f は R 上で定義された実数値関数全体 }
は R 上の無限次元ベクトル空間となる．

P3
質問： F について，F ∋ fk(x) = x^k としたとき√x がf の（原文ママ，"fk の" ということか）線形結合で書けない
のは√x がR 上全体で定義されていないからですか？
お答え： いいえ．f(x) = e^x で定まるf ∈ F も{fk; k = 0,...,N} の線形結合では表せません．

質問： 基底の存在しないベクトル空間とは要するにRn (n = 1) のことですか？どんなベクトル空間にも基底はあるのが普通ですよね．
お答え： 普通ではありません．この授業で扱うのはほとんどが有限次元，というだけのことです．
そして無限次元ベクトル空間にもいろいろなものがあり，単純にR1 と書くことはほとんどありません．ここでは深入りしませんが．

質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？
お答え： 例をあげたはず．F は基底をもちません．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/675

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