Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 45

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236: １３２人目の素数さん [sage] 2020/05/08(金) 10:16:57 ID:qXGvfbUV

>>234
コメントありがとう

>2.3と2.6がAxiom schemaと書いてあるのが読めますね
>実はこれは一つの式ではありません

１．>>232より 望月 IUT IV
　”[i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice - cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].”
　つまり、”nine axioms”であること、”of Zermelo-Fraenkel”（ZFであってZFCではない）ことを
　確認願います。
２．よって、望月氏の記述は”式ではありません”！
３．>>233 より 「は、”個”の定義の話だと思う」と書いた
　”axiom”を１個と数えれば、下記の2.1 〜2.9 9個
（但し、”9. Well-ordering theorem”は ”axiom”でないとすれば、8”axiom”＋1”Well-ordering theorem”＝9 という計算もありだろう）
QED（＾＾；

（参考>>232より再録）
https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory
Zermelo-Fraenkel set theory

Contents
1 History
2 Axioms
2.1 1. Axiom of extensionality
2.2 2. Axiom of regularity (also called the axiom of foundation)
2.3 3. Axiom schema of specification (also called the axiom schema of separation or of restricted comprehension)
2.4 4. Axiom of pairing
2.5 5. Axiom of union
2.6 6. Axiom schema of replacement
2.7 7. Axiom of infinity
2.8 8. Axiom of power set
2.9 9. Well-ordering theorem
3 Motivation via the cumulative hierarchy
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/236

238: １３２人目の素数さん [sage] 2020/05/08(金) 10:38:02 ID:qXGvfbUV

>>235
>しかし基礎論の肝心なとこは本人もだし、何人も読んでたら気づくと思うんだけど。
>そこが致命的とか信じられないな。

ほいよ >>236
あなたも、ここで論陣を張りたければ、まずは事実を確認してくださいね
まずは、望月氏 IUT IVが引用している >>230の”cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3”を見ましょうね
（P85 Bibliography
　[Drk] F. R. Drake, Set Theory: an Introduction to Large Cardinals, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 76, North-Holland (1974). です）

批判するのは、それからにしてくださいね
私は、[Drk]に何を書いてあるかは知らない
だが、世の中 ”Set Theory”の本など、山ほどある

ある説では、ZFの公理が 8つ また 9つ あるいは、貴方のように式で数えて”無限”（笑える奇説ですが、まあ良いでしょうｗ（＾＾； ）
IUT論文を書くのに、世の中の ”Set Theory”を全部確認する必要なし
本筋とは関係ないですからね

私も、望月先生は、基礎論疎いと思いますよ
でも貴方の指摘は的外れだということは
しっかり事実として確認しておきたい

PS
余談ですが、私見ですが
ZFCとかZFCGとかに拘るのは、それは圏論がアブストラクト・ナンセンスと言われた時代の遺物と思います
”[Drk](1974)”か〜、一目古いな〜という感じがします

いま、21世紀だし、圏論は当たり前なので、「圏論の基礎がZFCGで、グロタンディーク宇宙が存在するかどうかなんてのは 20世紀の議論
むしろ、ZFCGなんて制約を外して、「IUTは正しい」を前提にして、どういう新しい圏論を定義したら IUTがすっきりするか？
なんてことを考えた方が、21世紀には 相応しいのでは？

ド素人ですが、そんな気がする 今日この頃ｗ（＾＾；

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/238

241: １３２人目の素数さん [sage] 2020/05/08(金) 10:59:47 ID:qXGvfbUV

>>238
>あなたも、ここで論陣を張りたければ、まずは事実を確認してくださいね
>まずは、望月氏 IUT IVが引用している >>230の”cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3”を見ましょうね

F. R. Drake, Set Theory: an Introduction to Large Cardinals, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 76, North-Holland (1974).
静岡大学附属図書館と 新潟大学附属図書館とがヒットしますね（＾＾；

アマゾン/Set-Theory-Introduction-Foundations-Mathematics/dp/0720422795
Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics) (英語) ハードカバー ? 1974/10/1
F. R. Drake (著)

登録情報
ハードカバー: 363ページ
出版社: Elsevier Science Publishing Co Inc.,U.S. (1974/10)
言語: 英語
ISBN-10: 0720422795
ISBN-13: 978-0720422795
発売日： 1974/10

Set theory : an introduction to large cardinals | 静岡大学附属図書館 ...opac.lib.shizuoka.ac.jp ? opacid
Google Books. ブックマーク済み. Set theory : an introduction to large cardinals ... North-Holland, 1974; 形態: xii, 351 p. ; 23 cm; 著者名: Drake, F. R. (Frank ... シリーズ名: Studies in logic and the foundations of mathematics ; v. 76 ... 410.8/179/76.

Set theory : an introduction to large cardinals | 新潟大学附属図書館 ...opac.lib.niigata-u.ac.jp ? opc ? recordID ? catalog.bib
9780720422795 [0720422795] (North-Holland) CiNii Books Webcat Plus Google Books; シリーズ名: Studies in logic and the foundations of mathematics ; v. 76 ...

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/241

245: １３２人目の素数さん [sage] 2020/05/08(金) 11:22:24 ID:qXGvfbUV

>>236 補足
> 2.9 9. Well-ordering theorem

”Well-ordering theorem”は、最初 Zermeloは定理だと考えていたのですね
で、下記のように、１階述語論理では、選択公理や Zorn's Lemmaと equivalentだと
（ここまでは 学部生でも常識でしょうね）
しかし、２階述語論理では、strictly stronger than the axiom of choice だと
なるほどね（＾＾；

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
(抜粋)
"Zermelo's theorem" redirects here.
For Zermelo's theorem in game theory, see Zermelo's theorem (game theory).
Not to be confused with Well-ordering principle.

In mathematics, the well-ordering theorem, also known as Zermelo's theorem, states that every set can be well-ordered.
A set X is well-ordered by a strict total order if every non-empty subset of X has a least element under the ordering.
The well-ordering theorem together with Zorn's lemma are the most important mathematical statements that are equivalent to the axiom of choice (often called AC, see also Axiom of choice § Equivalents).[1][2]

History

It turned out, though, that the well-ordering theorem is equivalent to the axiom of choice, in the sense that either one together with the Zermelo?Fraenkel axioms is sufficient to prove the other, in first order logic (the same applies to Zorn's Lemma).
In second order logic, however, the well-ordering theorem is strictly stronger than the axiom of choice: from the well-ordering theorem one may deduce the axiom of choice, but from the axiom of choice one cannot deduce the well-ordering theorem.[7]

There is a well-known joke about the three statements, and their relative amenability to intuition:

The axiom of choice is obviously true, the well-ordering principle obviously false, and who can tell about Zorn's lemma?[8]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/245

246: １３２人目の素数さん [sage] 2020/05/08(金) 11:44:00 ID:qXGvfbUV

>>243-244
私は、別に望月先生を擁護をする気はないけど、あなたの言うことは、本筋からずれているよね

>例えば2.3の分出公理は分出メタ公理として紹介している

そんなの ja.wikipediaに書いてある通りじゃね？
下記「この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である」と書いてあることでしょ？
論理式 ψ というパラメータが入っている。この場合、ψはなんでも良いんだ

望月先生が知っているどうか知らないし
また、いまどきの数学科学部生が、どこまで知っているかしらない
でも、私は知っているけど

そして、置換公理 あるいは 分出公理 を ”一つの公理”とすることには、反対しない
置換公理 あるいは 分出公理の 詳細説明として、
「この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である」と説明すれば良いし
論理式 パラメータ ψの数え方によれば、”infinite ”（上限無しの意味で）と考えられる と説明すれば良い

最初から、９個がダメとか言い出したら、それ 「分かり易い説明」としては、失敗していると思う（＾＾；

（参考：文字化けがあるので原文ご参照。直すの面倒なのでｗ（＾＾　）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
(抜粋)
目次
1 集合の公理系
1.1 ZF 公理系
1.2 分出公理

ZF 公理系

置換公理　"関数クラス"による集合の像は集合である：
{\displaystyle \forall x\forall y\forall z((\psi (x,y) 略 。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。

分出公理
置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年）。分出公理は上に述べた ZF の公理から示すことができる。

分出公理　任意の集合 X と A を自由変数として使用しない論理式 ψ(x) に対して、X の要素 x で ψ(x) をみたすような x 全体の集合が存在する：
{\displaystyle   x略) 。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。論理式 ψ を決めたとき、X に対して分出公理が存在を主張する集合はただ一つであることが外延性の公理から言えるので、これを {\displaystyle 略} で表す。{\displaystyle 略 を {略} で表す。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/246

252: １３２人目の素数さん [sage] 2020/05/08(金) 13:45:23 ID:qXGvfbUV

>>236
>https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory
>Zermelo-Fraenkel set theory
> 2.3 3. Axiom schema of specification (also called the axiom schema of separation or of restricted comprehension)
(引用終り)

追加
これ、現代では大分見直しされているようですね（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_specification
Axiom schema of specification
(抜粋)
In many popular versions of axiomatic set theory, the axiom schema of specification, also known as the axiom schema of separation, subset axiom scheme or axiom schema of restricted comprehension is an axiom schema. Essentially, it says that any definable subclass of a set is a set.

Because restricting comprehension avoided Russell's paradox, several mathematicians including Zermelo, Fraenkel, and Godel considered it the most important axiom of set theory.

Relation to the axiom schema of replacement
The axiom schema of separation can almost be derived from the axiom schema of replacement.
For this reason, the axiom schema of specification is often left out of modern lists of the Zermelo?Fraenkel axioms. However, it's still important for historical considerations, and for comparison with alternative axiomatizations of set theory, as can be seen for example in the following sections.
Unrestricted comprehension
Accepting only the axiom schema of specification was the beginning of axiomatic set theory.
Most of the other Zermelo?Fraenkel axioms (but not the axiom of extensionality, the axiom of regularity, or the axiom of choice) then became necessary to make up for some of what was lost by changing the axiom schema of comprehension to the axiom schema of specification ? each of these axioms states that a certain set exists,
and defines that set by giving a predicate for its members to satisfy, i.e. it is a special case of the axiom schema of comprehension.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/252

281: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/05/08(金) 15:54:08 ID:qXGvfbUV

>>280
>>>259がrobertsについてミスリードしていたようだったからそうじゃないよってことが説明したかっただけ

了解です
ありがとう（＾＾

>そもそも、専門外に口を出すというのは、まさにIUT4章で望月自身が行っていることだしね

IUT IV の§3ですよね
あそこは、多分、”Inter-universal”の由来の説明（なんか、加藤文元本のアシストみたいですが（余談ですが「宇宙をつなぐ」だったかが、一般受けした？（＾＾；））
と
組み合わせ論で、“species”ですか？　これを、一生懸命に説明しているように読みました（＾＾
（なんか、勉強半分、言い訳半分みたいな、不思議なことを書いているという印象でしたｗ）

でも、私が調べた範囲では、組み合わせ論の“species”って
結局圏論ベースみたいなので
だったら、ZFCとか拘る必要はないと見ましたけどね？ （＾＾；

（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: ¨
LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND
SET-THEORETIC FOUNDATIONS
Shinichi Mochizuki
April 2020
P67
In the present §3, we develop ? albeit from an extremely naive/non-expert
point of view, relative to the theory of foundations! ? the language of species.
Roughly speaking, a “species” is a “type of mathematical object”, such as a
“group”, a “ring”, a “scheme”, etc.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/281

283: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/05/08(金) 16:52:12 ID:qXGvfbUV

>>281 補足
＞組み合わせ論で、“species”ですか？

（参考）
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/species.html
Algebraic Topology: A guide to literature 信州大
Species
(抜粋)
Species とは , Joyal により [ Joy81 ] で 導入 された 概 念 である 。 定 義 はとても 単 純 で , Σ を 有 限 集 合 と 全 単 射 の 成 す 圏 としたときに , 単 に 関 手

F : Σ -→ Σ
のことである 。 文 献 としては , Bergeron と Labelle と Leroux の 本 [ BLL98 ] がある 。 J. Kock の web site からも 解 説 の PDF を download できる 。

定 義 は simple であるが , 各 種 の 数 え 上 げの 問 題 で 有用 な 道 具 らしい 。

https://ncatlab.org/nlab/show/species
species
(抜粋)
Contents
1. Idea
2. Definition
1-categorical
2-categorical
(∞,1)-categorical
Operations on species
Sum
Cauchy product
Hadamard product
Dirichlet product
Composition product
3. In Homotopy Type Theory
Operations on species
Coproduct
Hadamard product
Cauchy product
Composition
4. Properties
Cardinality
5. Variants

1. Idea
A (combinatorial) species is a presheaf or higher categorical presheaf on the groupoid core(FinSet), the permutation groupoid.
A species is a symmetric sequence by another name. Meaning: they are categorically equivalent notions.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/283

284: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/05/08(金) 16:52:50 ID:qXGvfbUV

>>283

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorial_species
Combinatorial species
(抜粋)
In combinatorial mathematics, the theory of combinatorial species is an abstract, systematic method for analysing discrete structures in terms of generating functions. Examples of discrete structures are (finite) graphs, permutations, trees, and so on; each of these has an associated generating function which counts how many structures there are of a certain size.

Category theory provides a useful language for the concepts that arise here, but it is not necessary to understand categories before being able to work with species.

The category of species is equivalent to the category of symmetric sequences in finite sets.[1]

.Category theory provides a useful language for the concepts that arise here, but it is not necessary to understand categories before being able to work with species.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/284

309: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2020/05/08(金) 23:34:24 ID:g/NZ4Ytw

>>246
>最初から、９個がダメとか言い出したら、それ 「分かり易い説明」としては、失敗していると思う（＾＾；

キューネンのPDFが落ちているのを思い出したな
キューネンの下記では、「ZFC = Axioms 1?9. ZF = Axioms 1?8.」と説明しているな！ｗｗ（＾＾；

（参考）
https://www.math.wisc.edu/~miller/old/m771-10/kunen770.pdf
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen

P10
I.2 The Axioms
Axiom 0. Set Existence. ∃x(x = x)
Axiom 1. Extensionality. ∀z(z ∈ x ←→ z ∈ y) → x = y
Axiom 2. Foundation. ∃y(y ∈ x) → ∃y(y ∈ x ∧ ￢∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y))
Axiom 3. Comprehension Scheme. For each formula, φ, without y free, ∃y∀x(x ∈ y ←→ x ∈ z ∧ φ(x))
Axiom 4. Pairing. ∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z)
Axiom 5. Union. ∃A∀Y ∀x(x ∈ Y ∧ Y ∈ F → x ∈ A)
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
Axiom 7. Infinity. ∃x（{} ∈ x ∧ ∀y ∈ x(S(y) ∈ x)）注：{}は空集合
Axiom 8. Power Set. ∃y∀z(z ⊆ x → z ∈ y)
Axiom 9. Choice. {} not∈ F ∧ ∀x ∈ F ∀y ∈ F(x ≠ y → x ∩ y = {}) → ∃C ∀x ∈ F(SING(C ∩ x)) 注：{}は空集合

ZFC = Axioms 1?9. ZF = Axioms 1?8.

http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf
Kunen, Kenneth. Set theory. (Studies in logic and the foundations of mathematics; v. 102)

（上記の訳）
アマゾン/dp/4535787484
キューネン数学基礎論講義 (日本語) 単行本 ? 2016/7/21
ケネス・キューネン (著), 藤田 博司 (翻訳)
内容（「BOOK」データベースより）
名著『集合論』の著者キューネンによる数学基礎論の教科書、待望の邦訳。公理的集合論からゲーデルの不完全性定理まで幅広い題材を、哲学的な話題も含めてていねいに解説します。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1588552720/309

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