現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む79

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383: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/12(木) 11:16:42.10 ID:iZa2yRQu

>>381 補足

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H27-yokota.pdf
ポアンカレ予想とリッチフロー 横田 巧 (京都大学 数理解析研究所) 平成27年度(第37回)数学入門公開講座テキスト
(抜粋)

Hamilton はその後もリッチフローに関する様々な定理を証明した．特に，無限時間
存在する体積を正規化したリッチフロー方程式の非特異解を持つような3次元閉多様体
に対して幾何化予想が成り立つことを証明した．一般には，体積を正規化しても，リッ
チフローは有限時間で特異点を生成する．そこで，Hamilton は手術付きリッチフロー
(Ricci flow with surgery) を用いた幾何化予想へのアプローチを提唱し，それを実装し
たのが Perelman である．以下で Perelman のプレプリント [Pe1, Pe2] の一部を解説
する．

3. 単調性公式
ここでは，Perelman の F-および W-汎関数（エントロピー）の単調性公式を紹介
する．

プレプリント [Pe1] の §5 によると W-エントロピーの定義は
統計物理に由来するらしい．このことに関しては [小林]（または[数セ]内の記事）を参
照されたい．

4. 局所非崩壊定理
ここでは，Perelman が定理 23を用いて証明した局所非崩壊定理の一つを紹介する．

Perelman は[Pe1]の§§6, 7において，リッチフローという時空を熱浴 (thermostat) に埋め込むことで L 幾何を展開し，n 次元多様体 M 上のリッチフロー g(t), t ∈
[0, T] に対して簡約体積 (reduced volume) と呼ばれる τ := T ? t に関して単調な別の
積分量

を定義し，その単調性を用いて局所非崩壊定理 I の弱い形の別証明および局所非崩壊
定理 II の証明を与えた．後の議論にはそれらの定理が使用されるため，実はF-汎関数
もW-汎関数もPerelmanによるポアンカレ予想の証明には直接的には使われない．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/383

384: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/12(木) 11:17:21.24 ID:iZa2yRQu

>>383

つづき

5. 幾何化予想の証明のあらすじ

定理 36 (グラフ多様体定理，塩谷・山口 [SY], cf. Perelman [Pe2, 7.4]) 以下を満
たす小さな正の数 v0 > 0 が存在する：向き付け可能な3次元閉リーマン多様体 (M, g)
の断面曲率が ?1 以上で体積 Vol(M, g) が v0 未満ならば，M の基本群 π1(M) は有限
であるか，M はグラフ多様体である．
Perelman による定理 36 の証明は未だ発表されていないが，塩谷・山口が同時期に
独立に証明した．

また，Perelman の３本目のプレプリント [Pe3] では，任意の正規化された単連結 3
次元閉リーマン多様体を初期値とする手術付きリッチフローは有限時間で必ず消滅す
ることが証明されている．これにより，手術付きリッチフローの長時間挙動の考察を
必要としないポアンカレ予想の比較的短い別証明が得られる．
以上が Perelman による幾何化予想とポアンカレ予想の証明のあらすじである．

6. おわりに
最後に，ポアンカレ予想に関連した現時点での未解決問題を挙げる．
問題 37 (4次元可微分ポアンカレ予想) 4次元球面 S
4 に同相な4次元可微分閉多様体
は S
4 に微分同相か？
一般に，２つの可微分多様体が同相でも微分同相とは限らない．実際，J. Milnor (1956)
が構成した異種球面 (exotic sphere) と呼ばれる 7 次元球面 S
7 に同相だが微分同相で
ない7次元多様体の例が知られている．
4 次元ポアンカレ予想，つまり「4 次元球面にホモトピー同値な 4 次元閉多様体は 4
次元球面に同相である」ことは M. Freedman (1982) により証明されているため，問
題 37 は「4 次元球面にホモトピー同値な 4 次元可微分閉多様体は 4 次元球面に微分同
相であるか？」と言い換えられる．この問題 ([石田]も参照) にリッチフローは有効で
あろうか？
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/384

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