現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む79

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350: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/10(火) 21:56:09.89 ID:Kmhz1h/s

>>349 関連
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A%E3%83%93%E3%82%A8%E2%80%93%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%82%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E8%A7%A3%E3%81%AE%E5%AD%98%E5%9C%A8%E3%81%A8%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%95
(抜粋)
ナビエ?ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題は、（例えば乱流のような）流体力学の重要な柱の一つであるナビエ-ストークス方程式の解の数学的性質に関連している。これらの方程式は空間の中の流体（つまり、液体や気体）の運動を記述する。
ナビエ?ストークス方程式の解は、多くの実践的な応用で使われる。しかしながら、これらの方程式の理論的な理解は不完全である。特に、ナビエ?ストークス方程式の解は、乱流となることがあり、科学や工学に対し計り知れない重要性があるにもかかわらず、乱流は最も難しい物理学の未解決問題の一つとして残っている。

ナビエ?ストークス方程式の解の基本的性質さえ、証明されていない。方程式の 3次元の系について初期条件が与えられたとき、滑らかな解が常に存在すること、もし存在するとしたらその解が質量当たり有界なエネルギーを持っているか[要出典]ということを、数学的にはいまだに証明されていない。この問題を解の存在と滑らかさの問題という。

ナビエ?ストークス方程式の理解が、乱流のとらえどころのない現象の理解という第一段階と考えられているので、Clay Mathematics Institute（クレイ数学研究所）は2000年5月にこの問題を、数学の 7つのミレニアム懸賞問題の一つとした。最初にこの問題の解を与えたものに$1,000,000を賞金として進呈すると約束した。[1]

次のステートメントを証明、もしくは反例を挙げよ:
3次元空間と（1次元の）時間の中で、初期速度を与えると、ナビエ?ストークス方程式の解となる速度ベクトル場と圧力のスカラー場が存在して、双方とも滑らかで大域的に定義される。

https://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_existence_and_smoothness
Navier?Stokes existence and smoothness
(抜粋)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/False_color_image_of_the_far_field_of_a_submerged_turbulent_jet.jpg/220px-False_color_image_of_the_far_field_of_a_submerged_turbulent_jet.jpg

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/350

351: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/10(火) 22:04:52.52 ID:Kmhz1h/s

>>350 追加

https://mathsoc.jp/publication/tushin/1802/1802okamoto.pdf
流体力学と数学 日本数学会年会市民講演会（2013 年 3 月 24 日）
京都大学数理解析研究所 岡本 久

流体力学には不思議な魅力がある．美しい流れや波は浮世絵のモチーフとして頻繁に取り上げら
れたし，レオナルド・ダ・ヴィンチのデッサンに多くの流れの絵が含まれていることはよく知られ
ている．これとは別に，誰にも明白に思える流れの現象が一旦数学的に定式化されるととたんに難
しい問題になることがあり，これがプロの数学者には魅力となることもあり，一方で初学者を遠ざ
ける原因となることもある．流体中の抵抗（あるいは波の抵抗）の問題や浮力の問題などは機械学
ではきわめて重要である．地盤の液状化など，専門家でもよくわかっているとは言えない領域もあ
る．長年数理流体力学の研究に携わったものとして，いくつかの問題を指摘してみたい．

６．ミレニアム問題
ナヴィエ−ストークス方程式を有名にしている理由は多々あれど，数学者にとって重要なのは 3

次元の場合に，滑らかな初期値から出発して，いつか有限時間内に何らかの特異点が発生するかど
うか，という問題であろう．ルレイの残したこの問題は有名であり，難しいことで悪名高い．1991
年，私がまだ若かった頃，現在名古屋大学にいる木村芳文氏に誘われてニューメキシコ州のロスア
ラモス研究所に行ったときのことである．「ルレイの弱解は初期値を与えたときにただ一つしかな
い」事を『証明した』と称する講演に出くわした．これは，特異点のある無しの問題を回避しなが
ら，ルレイの未解決問題を一部解決したことになり，極めてセンセーショナルなことである．この
発表の共著者の一人である○○はベテランの数学者であり，信じるに足るように思えた．私はこれ
を聞いて友人や師匠の藤田宏先生などに大急ぎで連絡をとったことを昨日のことのように覚えて
いる．しかし，その後，その『証明』には致命的な欠陥があることがわかった．藤田先生曰く「○
○も年寄りの冷や水はやめておけばいいんですよ．」この言葉は今でも耳に焼き付いているので，
この歳になるとミレニアム問題に挑戦しようという気は萎えてくるのである．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/351

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