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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/
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221: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/01(日) 11:03:44.68 ID:id6ENHqe つづき 範疇性 一階述語論理の節で見られたように、一階理論は範疇的でありえない。すなわち、一階述語論理は同形なある一意なモデルを、そのモデルが有限でない限り記述することができない。 しかし、二つの有名なモデル理論に関する定理は基数κ についての κ-範疇性のより弱い概念を扱うことができる。もし濃度がκ である理論Tの二つのモデルが同形であるならば, T はκ-範疇的と呼ばれる。 κ-範疇性の疑問は、κ がその言語の濃度よりも大きいかどうか（すなわち、 アレフ _{0} + |σ|, ここで |σ| はシグネチャの濃度）に決定的に依存していることが分かる。 有限または可算のシグネチャについて、これは非可算のκ についての アレフ _{0}-濃度と κ-濃度の間に根本的な相違があることを意味している。 モデル理論と集合論 集合論（これは可算言語において表現されている）は可算モデルをもつ。すなわち、非可算集合の存在を仮定している集合論の文が可算モデルにおいても真であることから、これはスコーレムのパラドックス（英語版）として知られている。 特に、連続体仮説の独立性（英語版）の証明はモデル内から見たとき非可算として現れるがモデル外から見たとき可算となるような集合をモデルの対象として必要とする。 モデル理論的な観点は集合論にとって有用である。例えば、ゲーデルがコーエンにより開発された強制法を用いて行った構成可能集合に対する仕事によって、（哲学的に興味深い）選択公理の独立性（英語版）および集合論の他の公理からの連続体仮説を証明することができる。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/221
222: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/01(日) 11:04:21.33 ID:id6ENHqe >>221 つづき 初期の歴史 主題としてのモデル理論はおおよそ二十世紀の中頃から存在している。しかしながら、特に数理論理学においてそれ以前から研究されていたいくつかの理論はモデル理論的な性質を持っていたと考えることができる。 モデル理論の系譜における最初の顕著な成果はレオポールト・レーヴェンハイム（英語版）により1915年に発表された下方レーヴェンハイム-スコーレムの定理の特別な事例である。 コンパクト性定理は、トアルフ・スコーレムによる仕事において萌芽が見られるが[1]、ゲーデルの完全性定理の証明中の補題として1930年に初めて発表された。 レーヴェンハイム-スコーレムの定理およびコンパクト性定理は1936年および1941年にモルツェフ（英語版）によって一般的な形で形式化された。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/222
223: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/01(日) 11:18:54.29 ID:id6ENHqe >>221 >例えば、ゲーデルがコーエンにより開発された強制法を用いて行った構成可能集合に対する仕事によって、（哲学的に興味深い）選択公理の独立性（英語版）および集合論の他の公理からの連続体仮説を証明することができる。 ここ誤訳やね 原文は下記 ”for example in Kurt Godel's work on the constructible universe, which, along with the method of forcing developed by Paul Cohen can be shown to prove the (again philosophically interesting) independence of the axiom of choice and the continuum hypothesis from the other axioms of set theory.” ＜上記のGoogle和訳に手を入れたもの＞ 例えば、クルト・ゲーデルが研究した構成可能な宇宙を使って、ポール・コーエンによって開発された強制の方法とともに、選択公理及び連続体仮説が、集合論の他の公理のからの、（哲学的に興味深い）独立性を証明することができる。 https://en.wikipedia.org/wiki/Model_theory Model theory (抜粋) 7 Set theory The model-theoretic viewpoint has been useful in set theory; for example in Kurt Godel's work on the constructible universe, which, along with the method of forcing developed by Paul Cohen can be shown to prove the (again philosophically interesting) independence of the axiom of choice and the continuum hypothesis from the other axioms of set theory. (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/223
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