[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/

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21: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 08:32:23.02 ID:hz0vD8O+ >>20 つづき 【175】当面われわれにとって重要なのは、関数と層の間に、深いアナロジーがあるということだ。 それを発見したのが、偉大なフランスの数学者アレクサンドル・グロタンディークである。 彼はほとんど単独で、現代の代数幾何学を作ったのみならず、数学に対するわれわれの考え方をすっかり変えてしまった。 ラングランズ・プログラムを幾何学的に再定式化するためにわれわれは、関数と層との間で言葉を翻訳するための辞書を利用したが、 その辞書こそは、グロタンディークの仕事を特徴づける深い洞察の見事な一例なのである。 【177】グロタンディークのアイディアに話を戻そう。 はじめに、ヴェイユのロゼッタストーンの真ん中のコラムに注目しよう。 そして有限体上の曲線と、より一般的な有限体上の多様体について調べる。 これらの多様体は、多項方程式の系によって定義される。 例えば、第９章で扱った、y^２＋y＝x^３?x^２もそのひとつである。 そのような多様体上に、ひとつの層があると仮定しよう。 層は多様体上の各点に、ベクトル空間を割り当てるルールだが、 実はさらに構造を持っている。 層の概念は、今考えている多様体が定義されている数の体系（この場合は有限体）の任意の対称変換から、 そのベクトル空間の対称変換が生じるように定義されているのである。 特に、有限体のガロア群の元であるフロベニウス写像からは、 このベクトル空間の対称変換（例えば回転や伸張など）が必然的に生じる。 【178】さて、ベクトル空間に何らかの対称変換があれば、そこからひとつの数を作り出すことができる。 そのための標準的なテクニックがある。 例えば、今考えているベクトル空間が直線なら、 フロベニウス写像から得られるこの空間の対称変換は伸張である ??つまり、各元zが、ある数Aにより、Ａzに変換される。この対称変換から作られる数は、Ａに他ならない。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/21

22: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 08:32:42.59 ID:hz0vD8O+ >>21 つづき 【180】だが、関数から層へと戻る自然な方法はない。 それができるのは、ある種の関数だけであって、全ての関数でできるわけではないのだ。 しかし、もしもそれができれば、その層は、関数には持ち得ない付加的な情報をたくさん持っているだろう。 するとその情報を利用することにより、その関数の核心に迫ることができる。 注目すべき事実は、ラングランズ・プログラム（ヴェイユのロゼッタストーンの真ん中のコラムで）に現れる関数のほとんどは、 確かに層に由来するということだ。 【181】関数は数学全体を通じて重要な概念のひとつであり、数学者たちは何世紀も前から関数を研究してきた。 関数という概念は、温度や気圧を考えることで、直感的に捉えることができる。 しかし、グロタンディーク以前は誰ひとりとして気づかなかったことがある。 それは、有限体上の多様体（例えば有限体上の曲線など）という文脈に身をおくなら、 われわれは関数を超えて、層を相手にできるということだ。 あるいはこうも言えるかもしれない。 関数は古い数学の概念であり、層は現代数学の概念である、と。 グロタンディークは、色々な意味において、 層の方がより基本的だということを示した。 古き良き関数たちは、層の影に過ぎないのである。 【182】この発見が刺激となって、20世紀の後半に数学は大きく発展することになった。 なぜなら層は、関数よりもはるかに重要で、幅広い状況に適用できる数学的対象であり、ずっと多くの構造を持つからだ。 例えば、ひとつの層がいくつもの対称変換を持つこともある。 関数を層に格上げすれば、それらの対称変換を利用して、 関数を扱った場合よりも、はるかに多くの情報を得ることができるのだ。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/22

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