[過去ﾛｸﾞ]
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/
上
下
前次
1-
新
通常表示
512ﾊﾞｲﾄ分割
ﾚｽ栞
抽出解除
ﾚｽ栞
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索
歴削→次ｽﾚ
栞削→次ｽﾚ
過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
ﾘﾛｰﾄﾞ規制
です｡10分ほどで解除するので､
他のﾌﾞﾗｳｻﾞ
へ避難してください｡
20: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 08:32:02.52 ID:hz0vD8O+ >>19 つづき 【172】さて、多様体Sの各点に割り当てるものを、数からベクトル空間に変えてみよう。 そうすると、多様体S内の各点sに数を割り当てるルール（関数）の代わりに、ベクトル空間を割り当てるルールが必要になる。 そのような規則のことを、「層」と呼ぶ。層をFで表すと、点sに割り振られたベクトル空間は、F(s)となる。 【173】つまり、関数と層との違いは、多様体Sの各点に割り当てるものの違いなのだ。 関数の場合には、数を割り当てるのに対し、層の場合には、ベクトル空間を割り当てる。 与えられた層に対して、各点sごとに割り当てられるベクトル空間の次元は、それぞれ異なっていてもよい。 例えば、次の図（図14?１）では、ほとんどのベクトル空間は平面（二次元ベクトル空間）だが、 ひとつは直線（一次元ベクトル空間）になっている。 ベクトル空間が、数の圏論化であるように、層は、関数の圏論化である。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/20
21: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 08:32:23.02 ID:hz0vD8O+ >>20 つづき 【175】当面われわれにとって重要なのは、関数と層の間に、深いアナロジーがあるということだ。 それを発見したのが、偉大なフランスの数学者アレクサンドル・グロタンディークである。 彼はほとんど単独で、現代の代数幾何学を作ったのみならず、数学に対するわれわれの考え方をすっかり変えてしまった。 ラングランズ・プログラムを幾何学的に再定式化するためにわれわれは、関数と層との間で言葉を翻訳するための辞書を利用したが、 その辞書こそは、グロタンディークの仕事を特徴づける深い洞察の見事な一例なのである。 【177】グロタンディークのアイディアに話を戻そう。 はじめに、ヴェイユのロゼッタストーンの真ん中のコラムに注目しよう。 そして有限体上の曲線と、より一般的な有限体上の多様体について調べる。 これらの多様体は、多項方程式の系によって定義される。 例えば、第９章で扱った、y^２＋y＝x^３?x^２もそのひとつである。 そのような多様体上に、ひとつの層があると仮定しよう。 層は多様体上の各点に、ベクトル空間を割り当てるルールだが、 実はさらに構造を持っている。 層の概念は、今考えている多様体が定義されている数の体系（この場合は有限体）の任意の対称変換から、 そのベクトル空間の対称変換が生じるように定義されているのである。 特に、有限体のガロア群の元であるフロベニウス写像からは、 このベクトル空間の対称変換（例えば回転や伸張など）が必然的に生じる。 【178】さて、ベクトル空間に何らかの対称変換があれば、そこからひとつの数を作り出すことができる。 そのための標準的なテクニックがある。 例えば、今考えているベクトル空間が直線なら、 フロベニウス写像から得られるこの空間の対称変換は伸張である ??つまり、各元zが、ある数Aにより、Ａzに変換される。この対称変換から作られる数は、Ａに他ならない。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/21
ﾒﾓ帳
(0/65535文字)
上
下
前次
1-
新
書
関
写
板
覧
索
設
栞
歴
ｽﾚ情報
赤ﾚｽ抽出
画像ﾚｽ抽出
歴の未読ｽﾚ
AAｻﾑﾈｲﾙ
Google検索
Wikipedia
ぬこの手
ぬこTOP
0.032s