[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論 (1002ﾚｽ)
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269(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)06:41 ID:0oc9Ztsl(1/28) AAS
>>112 補足
∈の無限降下列と従属選択公理の話（下記）
ゼルプスト殿下 @tenapyonは、藤田博司先生愛媛大
外部ﾘﾝｸ:togetter.com
「従属選択公理」の検索結果 Togetter
外部ﾘﾝｸ:togetter.com
2014年12月23日 Togetter
省20
270(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)06:42 ID:0oc9Ztsl(2/28) AAS
>>269
つづき
USB^800 @usb_usb
（もうちょっと発展させれば、修士論文あたりのネタにはできそう…）
ゼルプスト殿下 @tenapyon
@usb_usb @MarriageTheorem あっ、もう詳細が書いてありましたね。俺の考えた筋は少し違ってて、木[0,1]^{<ω}を下向きの半順序だと思ってこれと同型な推移的集合Tが存在する集合論でWF(T)を作りTの節の後続者を入れ換える置換の群で置換モデルを作るの。
USB^800 @usb_usb
省12
271: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)06:42 ID:0oc9Ztsl(3/28) AAS
>>270
つづき
はかり @mg_toHKR
@tenapyon わかりやすい説明ありがとうございます！
可算選択公理は最初から可算無限個の集合がないと使えないんですね・・・
本当にありがとうございます、勉強になりました。
ゼルプスト殿下 @tenapyon
省4
272(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)07:50 ID:0oc9Ztsl(4/28) AAS
>>266
ども、レスありがとう
>どこまで行っても単元集合しか出てこないとしか解釈できない希ガス。
同意です
補足説明します
普通の自然数N+ω：1,2,3,・・n,・・,ω
に対して（ωは極限順序数で>>164ご参照）
省25
273(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)08:02 ID:0oc9Ztsl(5/28) AAS
>>272
補足
縦に並べると
1,1n,1e,Σe1
2,2n,2e,Σe2
・
・
省7
274: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)08:07 ID:0oc9Ztsl(6/28) AAS
>>272 追加
ここらは、全部下記の”Stanford Encyclopedia of Philosophy”に、類似のことが書かれていると思うよ
（>>224より）
外部ﾘﾝｸ:plato.stanford.edu
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett
First published Tue Jul 2, 2013
省8
276(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:18 ID:0oc9Ztsl(7/28) AAS
>>275
どうも。レスありがとう
>{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
>には最大値が存在してしまうのでは？
別に言い訳するつもりはないけど
>>272で同意したのは、
ツェルメロ構成では、「どこまで行っても単元集合しか出てこない」ということなのです
省31
277: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:26 ID:0oc9Ztsl(8/28) AAS
>>276 タイポ訂正
レーヴェンハイ-スコーレムの定理
↓
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
（二箇所）
な（＾＾；
280: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:37 ID:0oc9Ztsl(9/28) AAS
>>272-273 補足
ツェルメロ構成での前者関数eの集合和Σen は、
>>276との関連で言えば
包含関係での⊂順序にはなるが、
帰属関係の∈順序にはならない
それは、公理という視点では、問題でしょうね
（∵ ∈だけで話を済ますのが綺麗。⊂は、定義されていないのだから）
281: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)09:45 ID:0oc9Ztsl(10/28) AAS
>>278-279
？
（>>272より）
ツェルメロ構成：
後者関数e；suc(a)e := {a} （aのシングルトン {a} ）
これで a∈ {a}
つまり、前者集合e ∈ 後者集合e
省1
283(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)10:06 ID:0oc9Ztsl(11/28) AAS
>>269
＜補足参考＞
従属選択公理(axiom of dependent choice)は、ADCか
外部ﾘﾝｸ[html]:alg-d.com
従属選択公理について 壱大整域 2013年10月25日
(抜粋)
定義 次の命題を従属選択公理(axiom of dependent choice)という．
省21
284(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)10:07 ID:0oc9Ztsl(12/28) AAS
>>282
どうぞ、>>275の方とお願い致します。
288(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)11:56 ID:0oc9Ztsl(13/28) AAS
>>287
申し訳ないが、意味が取れない
１）下記、Zermelo (1908b) ”(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member”
２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える
３）で、Zermelo (1908b)では正則性公理は、無かった（∵1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された）
４）しかし、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成 に、正則性公理からの規制（有限回に限られる？）があると、そういう話はないでしょ？
じゃ、ZFCの対の公理による「a → {a}」の the singleton set {a}生成が、これの超限回繰返しが可能なわけですよね
省17
290: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)13:52 ID:0oc9Ztsl(14/28) AAS
>>289
（>>287において）
１）定義が無い。 x11とは？ これは何ですか？
２）Ω=x11、Ω=x21∋x22？ これは何ですか？
「Ω=x11」と「Ω=x21∋x22」とで、二つのΩは別ものですよね、明らかに。これ、記号の濫用ですか？
３）x11∋x22∋x33∋‥‥？ これは何ですか？
例えば、「x11∋x22」の証明は？ 略証でもいいけど
291(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)13:59 ID:0oc9Ztsl(15/28) AAS
>>288
> ２）これは、>>175の通り、ZFCでは、対の公理で「a → {a}」が言える
補足
繰返すが、どんな集合であれ、対の公理で「a → {a}」が言えるのです
これは、公理だから、無制限に成立します（有限に限らない）
aが、たとえ無限集合でも、まとめて、the singleton set {a} にできる
回数は、無制限です
省19
292(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)14:00 ID:0oc9Ztsl(16/28) AAS
>>291
つづき
（追加参考）
外部ﾘﾝｸ:www.math.okayama-u.ac.jp
Prof. Dr. YUJI YOSHINO
Department of Mathematics
Faculty of Science
省30
294(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)14:30 ID:0oc9Ztsl(17/28) AAS
>>292
> 有限整列集合 {1, 2, . . . , n} の順序数を n と書く。（心は nth の意味。）
そうそう、日本語では、基数詞（簡単には個数を数える）と序数詞（順番）との区別が、助数詞（個・番など）でなされる
前者は１個２個で、後者は１番２番など
数学においては、”nth”は略して書かないので、日本語記法に近い
が、ノイマンとかツェルメロとか、彼らの思考は基数詞（Cardinal）と序数詞(Ordinal)とが峻別されているのです、きっと（＾＾
だから、かれらの文書を読むとき、「Cardinalの話なのか、Ordinalの話なのか」を、日本人はしっかり意識しておかないと
省19
295(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:04 ID:0oc9Ztsl(18/28) AAS
>>293
(引用開始)
仮定は
Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm
なる形の列の長さに上限がないですね。
(引用終り)
その記法は、混乱の元と思います
省25
297: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:26 ID:0oc9Ztsl(19/28) AAS
>>294
再度まとめておきます
現代数学の無限の議論で、
１．整列可能定理と関連して、デデキント無限とかの関連で（>>236-238）どこまでの強さの選択公理を採用するか（>>283）の問題がある
可算選択公理＜従属選択公理＜選択公理＜連続体仮説
ですね。決定性公理は、別の系統なのでしょうね
２．レーヴェンハイム-スコーレムの定理に関連して（>>251-252）
省12
298(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:38 ID:0oc9Ztsl(20/28) AAS
>>296
>好きに番号はつけて下さい。
はい
では、>>295の正則性公理の表記に合わせて、
∋関係の順序列の最小要素から順に、0または1を、
そして可付番なら、その後は自然数の順で番号付けをすることを
要求します
省8
299: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)15:51 ID:0oc9Ztsl(21/28) AAS
>>227
>・順序対 (x,y)と集合 {{x},{x,y}}との同一性。
追加
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
順序対
(抜粋)
目次
省27
301(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)17:05 ID:0oc9Ztsl(22/28) AAS
>>300
ちょっと意味がとれない
１）>>295より（坪井明人 筑波大）”正則性公理は、「空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること」です”は、いいですか？
２）「Ω=x1∋x2∋x3」に対し、
上記の”数理論理学ＩＩ 坪井明人 筑波大”の「大小」の意味（”極小となる”などの表現）で
大小記号”＞”を流用して表現しますと
”x1＞x2＞x3”と、通常の自然数の大小関係が逆転した表現になるということの理解は、良いですか？
省5
304(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)17:49 ID:0oc9Ztsl(23/28) AAS
>>302
(引用開始)
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
には最大値が存在する。
(引用終り)
えーと、順序集合で、「半順序・全順序」意識していますか？
それ、∈関係で、全順序なのでしょ？
省16
305: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)17:52 ID:0oc9Ztsl(24/28) AAS
>>302
>X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}
>が全てのmについて空集合とならない事が導かれるという主張なんです。
その、(x1,x2,‥,xm) って表記が公理的じゃないのだが
空集合でないことも、殆ど自明でしょ？？
310(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)22:05 ID:0oc9Ztsl(25/28) AAS
>>309
外部ﾘﾝｸ:mickindex.（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ミック
再帰集合とSQL 2017/06/22
(抜粋)
色々な自然数の帰納的定義
ノイマン型
省38
311(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)22:08 ID:0oc9Ztsl(26/28) AAS
>>309
>{{…}} は正則性公理に反するのでZF内には存在できません
（>>189より）
正則性公理は、無限降下列を禁止するが、その無限降下列の意味は、
”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味です
ノイマンの自然数構成のような∈関係の無限上昇列を禁止するものではないのです
省2
313(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)22:33 ID:0oc9Ztsl(27/28) AAS
>>293
(引用開始)
Ω=x1∋x2∋‥‥∋xm
X[m]={(x1,x2,‥,xm) | x1=Ω, x[i]∋x[i+1]}
(引用終り)
？
xmをいくらでも小さく取れるということですか？
省17
314(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2019/10/12(土)22:38 ID:0oc9Ztsl(28/28) AAS
>>312
＞ωの一番右のΦってなんだよ？ｗ
その質問は、哀れな素人さんの無限に関する質問に類似
＞有りもしないものが見えるとか、
現代数学の概念は、抽象的なものが多いよ。知らないみたいだね(゜ロ゜;
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