現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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14: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/05(土) 11:03:52.61 ID:JrhjRl4x

>>7
つづき

>「フォン・ノイマン宇宙、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス」
>という存在を認めることにしましょう

さて、この前提で
下記より、冪集合で P({a})={Φ,{a}}
つまり、 P({a})は{a}という一元集合の冪集合です
ここで、{Φ,{a}}から、{{a}}という集合を作ることができるということを認めることにしましょう
（注：{Φ,{a}}から、元Φを取り除くだけですけど（多分、分出公理を使う）
　あるいは、 P({Φ,{a}})={Φ,{Φ},{{a}},{Φ,{a}}}としても、{{a}}は作ることができる ）

まあ、要するに
{a}という集合に対して、一つ{}が多い{{a}}を、冪集合作る操作で、構成することができるということ
ここで、フォン・ノイマン宇宙の「0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合」を認めると
空集合Φ={}に、ω回冪集合の演算を繰り返して
ツェルメロ構成で、集合 {{…{}…}}（{}の多重無限）（>>4）が、出来ました（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88
冪集合
(抜粋)
冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。

定義
集合 S が与えられたとき、S のどの部分集合をも元とする集合
P(S):={A：a set｜A⊆S}}
を S の冪集合と呼ぶ。例えば
・ P({a})={Φ,{a}}

https://tnomura9.exblog.jp/26409538/
tnomuraのブログ
冪集合公理 by tnomura9 | 2018-02-02 08:02
(抜粋)
これまで調べた、外延性の公理、空集合の公理、対の公理、和集合の公理、冪集合公理から構築できる公理的集合論の世界は、空集合 {} を base case にして {{}}, {{{}}}, {{}, {{{}}}}, などのように有限集合を無限に作り出していく集合の生成体系で、そのなかでは和集合の演算が導入されている。
また、その中にはそれらの集合の冪集合も含まれる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/14

42: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/05(土) 14:02:44.04 ID:JrhjRl4x

>>6
(引用開始)
ID:kZwmbLNIさん
現代数学はインチキのデパート
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570145810/23-
(抜粋)
ｍ∈Nで、ｍは自然数であるなら
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω
は”明らかに”有限長です。
(引用終り)
と解釈することで折り合いを付けた
ここは、ちょっと異論があるのですが、後で（＾＾
(引用終り)

ここに戻ります
最小の超限順序数 ωは、極限点です。集積点とも言います
T1-空間（＝”任意の相異なる二点が分離できる”。実数Rはそうです）では
集積点ωは、”任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である”
つまり、閉区間[0,1]内の数列
0=1-1/1,1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・
を考えます。n→∞で、1-1/n→1に収束します。そして、[0,1]の点1は、集積点です

もうお分かりでしょう。1-1/nが順序数nに対応し、点1は∞つまり順序数nに対応します
点1は集積点で、”任意の近傍が S の点を無限に含む”ですから、閉区間[0,1]の内側に少しでも入れば
無限の1-1/nたちを含みます。無数の順序数nたちを含みます

なので、あなたの上記証明は、「ωは、極限点」という性質を反映していませんね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
(抜粋)
特徴付け
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類（クラス）において順序位相に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点/極限点
(抜粋)
集積点あるいは極限点は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である

https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93
T1空間
(抜粋)
X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/42

70: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/05(土) 16:20:03.67 ID:JrhjRl4x

>>65
>順序数の順序の列と∈列は異なります

ノイマン構成では、順序数の順序の列と∈列は一致するのでは？（＾＾
下記より
”集合 x について以下はZFで同値である。
・x は順序数である。
・x は推移的集合であり帰属関係 ∈ に関する整列集合である。 (ジョン・フォン・ノイマンの定義)[3][4]”
とありますよ

一方、ツェルメロ構成では、一致しない。そこは批判されています（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/順序数
順序数
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
GA,< の値域 ran(GA,<) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。

順序数の特徴付け
集合 x について以下はZFで同値である。
・x は順序数である。
・x は推移的集合であり帰属関係 ∈ に関する整列集合である。 (ジョン・フォン・ノイマンの定義)[3][4]

注釈
2．^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (A, <) の "同値類" を (A, <) の順序型（order type）と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。
これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。
詳細は「順序型」を参照。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/70

91: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/05(土) 21:31:10.08 ID:JrhjRl4x

>>77
ツェルメロ構成
批判はされているけれど（＾＾

https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory
First published Tue Jul 2, 2013
(抜粋)
3.2.1 Representing Ordinary Mathematics

The first obvious question concerns the representation of the ordinary number systems.
The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.
Moreover, it seems that, since both the set of natural numbers and the power set axiom are available, there are enough sets to represent the rationals and the reals, functions on reals etc.
What are missing, though, are the details: how exactly does one represent the right equivalence classes, sequences etc.?
And assuming that one could define the real numbers, how does one characterise the field operations on them?
In addition, as mentioned previously, Zermelo has no natural way of representing either the general notions of relation or of function.
This means that his presentation of set theory has no natural way of representing those parts of mathematics (like real analysis) in which the general notion of function plays a fundamental part.

3.2.2 Ordinality
Zermelo's idea (1908a) was pursued by Kuratowski in the 1920s, thereby generalising and systematising work, not just of Zermelo, but of Hessenberg and Hausdorff too, giving a simple set of necessary and sufficient conditions for a subset ordering to represent a linear ordering.
He also argues forcefully that it is in fact undesirable for set theory to go beyond this and present a general theory of ordinal numbers:

(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/91

92: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/05(土) 21:35:51.26 ID:JrhjRl4x

>>91 補足

”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.
Moreover, it seems that, since both the set of natural numbers and the power set axiom are available, there are enough sets to represent the rationals and the reals, functions on reals etc.
What are missing, though, are the details: how exactly does one represent the right equivalence classes, sequences etc.?”

ツェルメロ自然数構成
批判はされているけれど（＾＾

・by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these
・since both the set of natural numbers and the power set axiom are available, there are enough sets to represent the rationals and the reals, functions on reals etc.
・何が不足なの？ What are missing, though, are the details: how exactly does one represent the right equivalence classes, sequences etc.?

まあ、ツェルメロ自然数構成から、無限集合が出来て、自然数とその冪集合から、有理数や実数や実関数などはできる
でも、批判はあった。それは、基礎論パイオニアの宿命でもあったかもしれない（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/92

110: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 07:57:27.47 ID:d8OQiN+r

>>95 追加

で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）

それを、最小の無限集合に絞って小さくする操作が必要です
最小の無限集合に絞った結果、Nには有限の元ｎしか含まれないものができる

なので、無限公理でできた最小に絞る前の無限集合には、
自然数を表現する以上の
つまり、真に無限の{・・・{Φ}・・・}なる無限多重カッコ{}の集合が
含まれていることは
明白ですね
QED

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
Axiom of infinity
(抜粋)
In axiomatic set theory and the branches of mathematics and philosophy that use it, the axiom of infinity is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory. It guarantees the existence of at least one infinite set, namely a set containing the natural numbers. It was first published by Ernst Zermelo as part of his set theory in 1908.[1]

Thus the essence of the axiom is:
There is a set, I, that includes all the natural numbers.

Extracting the natural numbers from the infinite set
The infinite set I is a superset of the natural numbers. To show that the natural numbers themselves constitute a set, the axiom schema of specification can be applied to remove unwanted elements, leaving the set N of all natural numbers. This set is unique by the axiom of extensionality.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/110

112: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 08:39:19.54 ID:d8OQiN+r

>>77 追加

下記、定理 93ですけど、ここに集積点を含まないことは明白ですね（＾＾
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
坪井明人 筑波大
http://math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/set2.pdf
坪井明人
11 整列集合
定義 88（整列順序）順序集合 (X, <) が整列集合（あ
るいは整列順序集合）であるとは，空でない任意の
A ⊂ X の中に（A の）最小元が存在することである．
注意 89 整列集合は全順序集合である．全順序集合
であることは，２元集合 A = {x, y} に必ず最小元が
存在することからわかる．
例 90
1. (N, <) は整列集合である．
2. (Z, <) は（全順序集合であるが）整列集合でない．
3. 有限の全順序集合は整列集合になる．
関数 f : N → X は X の元からなる無限列と考えられる．
無限列は (an)n∈N などで表す．
定義 91 (X, <) を順序集合とする．X の元の無限列
(an)n∈N が無限降下列であるとは，任意の n ∈ N に対して，
an+1 < an が成立することである．
例 92 1. Z における数列 (an)n∈N を an = ?n で定めると，無限降下列である．
2. N の中には無限降下列は存在しない．

定理 93 (X, <) を順序集合とする．このとき次は同値である：
1. (X, <) は整列集合である；
2. (X, <) は全順序集合で，なおかつ無限降下列を持たない．

証明： 1 ⇒ 2: (X, <) を整列集合とする．全順序
集合になることは既に調べた．X の中に無限降下
列 (an)n∈N が存在したとしよう．このとき，集合
A = {an : n ∈ N} ⊂ X は最小元を持たない．これ
は X が整列集合であることに反する．
2 ⇒ 1: 2 を仮定する．空でない A ⊂ X を任意に
とる．A に最小元が存在することを示そう．a0 ∈ A
を選ぶ．これが A の最小元ならば議論は終了する．
そうでなければ，a1 ∈ A, a1 < a0 が存在する．a1
が最小元ならば議論は終了するので，再び a2 ∈ A,
a2 < a1 が存在する．以下同様に A の元 an を
a0 > a1 > a2 > ・ ・ ・ an?1 > an
となるように選ぶ．A は無限降下列を持たないので，
この構成はいつか止まる．すなわち，ある n に対し
て an ∈ A が最小元になる．
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/112

151: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 11:23:00.82 ID:d8OQiN+r

>>110 補足

>Infinity
>This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}.
> (Thus, this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….)
で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど
無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki）
(引用終り)

ツェルメロ構成で、aの後者関数：suc(a) := {a} なので
上記、set a に対して set {a}が必ず属するという、無限公理の規定の仕方をしているのかな？
（原典まで確認していないが）

ノイマン流では、で、aの後者関数：suc(a) := a∪{a} なので
この場合の無限公理は、set a に対して a∪{a}が必ず属すると規定される

まあ、自然数ｎに対しその後者ｎ＋１が必ず属する集合Nが存在という意味だな
このNは、我々の望む自然数ｎ以上のものを含む。というか、含んでも無限公理上はしかたない
だから、あとから不要なもの（後者）を排除するしかない

では、不要なもの（後者）とは何か？　我々の望むものは、自然数ｎ（有限）のすべて
だから、不要なもの（後者）とは、有限を超えたものであって、真に無限のもの
ツェルメロ構成では、真に無限の{・・・{Φ}・・・}なる無限多重カッコ{}の集合たちですね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
自然数
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　・
　・
と非常に単純な自然数になる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
(抜粋)
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃A(Φ∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A))

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/151

162: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 13:38:42.40 ID:d8OQiN+r

>>151 補足
ツェルメロの自然数構成で
0：Φ
1：{Φ}
2：{{Φ}}
　・
　・
n：{・・{Φ}・・} n重
これで、全ての有限の自然数は構成できる
無限公理で、Nとωが出来たあとに、
ω：{・・{Φ}・・} ω重 （ωは、下記のwikipedia定義に従う）
と定義すれば良い
下記、順序数「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
但し、下記”順序型というアイデア”を使う
QED

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
次が成り立つ：
5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
注釈
^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (A, <) の "同値類" を (A, <) の順序型（order type）と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。
したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。
これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/162

164: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 13:53:05.04 ID:d8OQiN+r

>>163 補足
＞ωから始まる∈無限降下列が存在すると言いたいなら、その列の第2項（ωの次の項）を示して下さい

(>>154より）
von Neumannで、自然数Nが構成できる（下記）
無限降下列
0∈1∈2・・∈N

ノイマン構成では、N＝ωです
ωが、極限順序数で、位相的に集積点（極限点）であり、任意の近傍が S の点を無限に含むということを、ご理解ください
特に、”任意の近傍が S の点を無限に含む”が理解できないのかな？

（参考）
https://hc3.seikyou.ne.jp/home/Tetu.Makino/suu_no_taikei.pdf
平成26年度教員免許状更新講習テキスト
「数の体系」講師：牧野　哲　（山口大学工学部教授）2014 年 6 月 22 日
(抜粋)
P4
集合論から自然数系を構成する方法としては，
von Neumann の方法が知られている。
これは，
0 := Φ(空集合), 1 := {Φ}, 2 := {Φ, {Φ}}, ・ ・ ・ , s(n) := {0, 1, 2, ・ ・ ・ , n}, ・ ・ ・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
(抜粋)
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点/極限点
(抜粋)
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93
T1空間
(抜粋)
X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/164

175: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/06(日) 16:07:45.71 ID:d8OQiN+r

>>102 追加
＞(b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and

この”for any object a, of the singleton set {a}”
は、ZFCでは、対の公理だね
a → {a}が言える

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
対の公理
(抜粋)
性質
外延性の公理により、任意のx,yに対しその対が一意に定まる。その集合のことを{x,y}と記す。 また同じく外延性より、x=yの場合における対{x,x}は一元集合{x}に等しいので、単集合の存在も導くことができる。
他の公理との関係
対の公理はZF公理系の他の公理と独立ではない。すなわち、置換公理および「濃度が2以上の集合の存在」から、任意のx,yに対する対{x,y}の存在を導ける（濃度が2以上の集合の存在については、無限公理、あるいは空集合の公理と冪集合の公理の組み合わせから導くことができる）。 そのため対の公理は、公理系を記述する際に省略されることもある。

https://unaguna.jp/article/archives/14
シリーズ: 集合論の言葉を使おう (準備編) >
外延的記法 (対の公理と和集合の公理)
対の公理
公理 1 (対の公理).
∀x∀y∃z∀w[w∈z←→w=x∨w=y]
すなわち、いかなるモノ (集合) x, y についても、「x と y だけが属する集合」が存在する。
まさに書いてあるとおりで、この対の公理によって上で挙げた「1と2だけが属する集合」が存在するのである。この対の公理を使うことで、2つのモノ (集合) だけが属する集合はひととおり存在が証明される。
また、1つのモノ (集合) だけが属する集合の存在も対の公理から証明できる。というのも、対の公理では x と y が同じでないことは要求してないので、たとえば「3と3だけが属する集合」である {3,3} も対の公理により存在する。
そしてこの {3,3} と「3だけが属する集合」である {3} を比較すると、3が両方の集合に属していてそれ以外のモノはいずれにも属していないので、どちらか一方にしか属していないモノは存在しない。
よって外延性の公理より {3,3} と {3} は同じ集合である。
したがって、対の公理により {3,3} の存在が示されるということは、{3} の存在が示されるということと同義である。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/175

189: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/07(月) 06:37:17.06 ID:2lTTrhZd

まとめます

１）正則性公理は、無限降下列を禁止するが、その無限降下列の意味は、
　”無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ ”は
　底抜けの最小元を持たない無限単調減少列の意味です
　ノイマンの自然数構成のような∈関係の無限上昇列を禁止するものではないのです
（>>159-160ご参照）
２）空集合から、後者関数を適用し、それに無限公理を適用して、自然数Nを構成する
　このとき、無限公理を適用しただけでは、
　我々の必要とする自然数N（全ての有限ｎたちのみを含む集合）より大きな集合が出来てしまう
　それを、自然数Nに絞り込む操作を必要とする
　つまり、無限公理により、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
　そのような元たちは、１）で述べたように、正則性公理に反しないのです
（>>110-112）
３）ツェルメロ構成では、aの後者関数；suc(a) := {a} なので
　この自然数構成で、全ての有限ｎたちを超える元が出来てしまう
　そのような元たちを絞って、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}と、自然数の集合Nができる
　そこで、全ての有限ｎたちを超える元たちの中で、最小の元が、ツェルメロ構成でのωに相当します（定義）
（>>110>>151）
４）ところで、正式な順序数ωの定義は、本来は、下記”整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法”による
　ノイマン構成では、この定義がそのまま適用できる
　ツェルメロ構成では、下記”順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できる”ので
　その方法により、ωを定義した上で、３）のツェルメロ構成でのωを再定義すれば良い
QED

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
略

順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/189

216: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/09(水) 11:48:43.65 ID:nHmzRvjt

>>214
”ここから分出公理で
{x∈E | x: finite, x: ordered inthe sence of Neumann}
という集合がとれますがコレでいらないもが削ぎ落とされて
求めるωがとれたのでした。”

↓
E''＝E'＼N ＝ { x∈E' | x: transfinite, x: ordered in the sence of Zermelo }
という集合がとれます
コレでいらない自然数Nの元（finiteな元）が削ぎ落とされて
E'のZermelo構成の最小元として
求めるωがとれたのでした
（ここに、E'とNとは、>>211をご参照）

（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Transfinite_number
Transfinite number
(抜粋)
Transfinite numbers are numbers that are "infinite" in the sense that they are larger than all finite numbers, yet not necessarily absolutely infinite. The term transfinite was coined by Georg Cantor, who wished to avoid some of the implications of the word infinite in connection with these objects, which were, nevertheless, not finite.
Few contemporary writers share these qualms; it is now accepted usage to refer to transfinite cardinals and ordinals as "infinite". However, the term "transfinite" also remains in use.

Definition
Any finite number can be used in at least two ways: as an ordinal and as a cardinal. Cardinal numbers specify the size of sets (e.g., a bag of five marbles), whereas ordinal numbers specify the order of a member within an ordered set (e.g., "the third man from the left" or "the twenty-seventh day of January").
When extended to transfinite numbers, these two concepts become distinct. A transfinite cardinal number is used to describe the size of an infinitely large set, while a transfinite ordinal is used to describe the location within an infinitely large set that's ordered. The most notable ordinal and cardinal numbers are, respectively:

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/216

236: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/10(木) 18:39:11.25 ID:K6AlmfoH

>>233 補足

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
デデキント無限
(抜粋)
数学において、集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。

デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。
目次
1 通常の無限集合の定義との比較
2 ZFにおけるデデキント無限
3 歴史
4 選択公理との関係
5 可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明
6 一般化
7 引用文献
8 参考文献

通常の無限集合の定義との比較
デデキントの意味での“無限集合”は、普通の意味での無限集合と比較されるべきであろう:

集合A が無限であるとは、どのような自然数 n に対しても、{0,1,2,..., n -1}（有限順序数）と A との間に全単射が存在しないことである。
無限とは、全単射が存在しないという意味で文字通り有限でないという集合である。

19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明されえない。弱いACを使うことで証明でき、フルの強さは要求されない。その同値性は、可算選択公理（“CC”）より真に弱い形で証明できる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/236

237: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/10(木) 18:40:50.86 ID:K6AlmfoH

>>236
つづき

一般化
圏論的な言葉で表現すれば、集合 A は集合の圏においてすべてのモノ射 f: A → A が同型射であるときにデデキント有限である。フォン・ノイマン正則環 R が（左あるいは右）R-加群の圏において同様の性質を持つことと、R において xy = 1 ならば yx = 1 が成り立つことは同値である。
より一般に、デデキント有限環 (Dedekind-finite ring) は、この条件（xy = 1 ならば yx = 1）を満たす環のことである。台集合がデデキント無限であっても環はデデキント有限となりうることに注意。例えば整数環。正則加群 RR がホップ的（すなわち任意の全射自己準同型が同型）であることと R がデデキント有限であることは同値である。

https://ring-theory-japan.com/ring/oldmeeting/2006/report2006/39ring-sympo/19.pdf
VON NEUMANN REGULAR RINGS WITH COMPARABILITY MAMORU KUTAMI Yamaguchi University 久田見 守（山口大学）第３９回環論および表現論シンポジウム（２００６年）
(抜粋)
1. 正則環における比較可能性と有限性
正則環は1936 年ノイマンによって連続幾何学の研究から見出された環であり、1950 年
代から1960 年代にかけての内海による商環の存在性の考察により、多数の正則環が存在
することが知られるようになった。そして、1960 年代後半に入り、有限条件と呼ばれる
ダイレクト・ファイナイト性やユニット正則性の研究が始められるようになった。ダイレ
クト・ファイナイト性はノイマン有限性或いはデデキント有限性とも呼ばれており、可換
環やネーター環及びアルチン環がダイレクト・ファイナイト環であることはよく知られて
いる。ユニット正則性は1968 年G.Ehrich によって与えられた概念である。ユニット正
則性やダイレクト・ファイナイト性は、正則環研究における重要な有限条件と呼ばれてい
る。何故これらの概念が有限性と呼ばれるかは、次の定理3 の性質を持つからであると推察される。
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/237

251: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/11(金) 06:49:54.09 ID:aKfhohl9

>>242

メモ：現代数学の”無限”のランドスケープ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。

正確な記述
ある構造がより小さい濃度の初等部分構造を持つとする定理の部分を下方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。
ある構造がより大きい濃度の初等拡張を持つとする定理の部分を上方レーヴェンハイム?スコーレムの定理 と呼ぶ。

定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
この事実を定理の一部とする場合もある。

例と帰結
自然数を N、実数を R とする。
この定理によれば、
(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、
(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。

もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。
レーヴェンハイム?スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。
例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/251

252: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/11(金) 06:50:20.34 ID:aKfhohl9

>>251
つづき

理論が範疇的 categorical であるとは、同型の違いを除いて唯一のモデルを持つことを意味する。
この用語は1904年、オズワルド・ヴェブレンが考案したもの[1]で、その後しばらくの間、数学者らは集合論を範疇的な一階の理論で記述することで、数学の堅固な基盤を築けると考えていた。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理はこの希望への最初の打撃となった。
なぜなら、その定理によれば無限のモデルを持つ一階の理論は範疇的にはなり得ないからである。
さらに1931年、ゲーデルの不完全性定理によって希望は完全に打ち砕かれた。

レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。
例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。
さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。
それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。
この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している。

歴史
以下の記述は主に Dawson (1993) に基づいている。
モデル理論の初期の歴史を理解するには、統語論的整合性（一階論理の推論規則を使って導かれるものには矛盾がないこと）と充足可能性（satisfiability、モデルがあること）を区別しなければならない。
いくぶんか驚くべきことに、ゲーデルの完全性定理がこの区別を不要とする以前でさえも、整合性 (consistency) という用語は場合によって違う意味で使われていた。

「トアルフ・スコーレムは亡くなる直前まで、この定理に彼の名が冠せられていることに憤慨していたという。彼は非可算集合の存在そのものが不合理であるとし、実在しないと考えていた」 - Poizat (2000)
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/252

269: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/12(土) 06:41:17.58 ID:0oc9Ztsl

>>112 補足

∈の無限降下列と従属選択公理の話（下記）
ゼルプスト殿下 @tenapyonは、藤田博司先生愛媛大
https://togetter.com/search?q=%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86&t=q
「従属選択公理」の検索結果 Togetter
https://togetter.com/li/760984
2014年12月23日 Togetter
【基礎の公理】∈の無限降下列を作るには従属選択公理ではなく可算選択公理があればよいか?
(抜粋)
はかり @mg_toHKR
正則公理と無限降下列の非存在が同値であることを示すのに使ったのは従属選択公理だけど、無限降下列作るなら別に可算無限でいいわけだし可算選択公理でも良いのでは

MarriageTheorem @MarriageTheorem
twitter.com/mg_toHKR/statu… これ、何となく違いそうな気がするけど実際どうなのでしたっけ

ゼルプスト殿下 @tenapyon
@MarriageTheorem 「可算回の選択だから可算選択公理で十分では？」という考えの問題点を指摘するのは簡単ですが、反例があるかというと、それは基礎の公理が破れているのに∈-無限下降列が存在せずそのうえ可算選択公理が成立するモデルなので、容易には用意できませんね

ゼルプスト殿下 @tenapyon
フレンケル・モストフスキ・モデルの方法で基礎の公理の二つのバージョンが同値でないことは示せる気がするので、あとはそのモデルで可算選択公理とが成立しているかどうかですかね。

USB^800 @usb_usb
アイディア：ZF＋可算選択公理＋￢DCのモデルからスタート。<X,R>を￢DCのウィットネスとする。このXは外延的（xとyのpredessor全体が一致したらｘ＝ｙ）と思ってOK.

USB^800 @usb_usb
permutationモデルでもOKだと思うけど、もっと簡単そうな旧版クーネン4章演習１８を使う。VからVへの写像FをXの要素ｘとそのpredessor全体をスワップ、ほかは動かさないようなものとして、aEb ⇔a ∈F(b)で定義する。

USB^800 @usb_usb
一般論として、＜V,E>はZF^-のモデルになる。後は本物の可算選択公理から<V,E>も可算選択公理をみたし、ついでにEの無限降下列は存在しないことがチェックできる、はず。

USB^800 @usb_usb
あ、あともちろん<V,E>では正則性はなりっていないこともチェックできる。

つづく
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/269

276: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/12(土) 09:18:29.19 ID:0oc9Ztsl

>>275
どうも。レスありがとう

>{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
>には最大値が存在してしまうのでは？

別に言い訳するつもりはないけど
　>>272で同意したのは、
ツェルメロ構成では、「どこまで行っても単元集合しか出てこない」ということなのです

で、あなたの
{n | ∃xn‥∈ x3∈ x2∈x1, Ω=x1}
に対して
>>266では
F(X)={Y|∃x1∈ x2∈ x3∈‥xn Y=x1, X=xn}
だったでしょ

つまり、順序が逆

例えば
1,2,3,・・・,n
は上昇列だが
-n,・・・,-3,-2,-1
降下列です

公理的集合論から、自然数N（0,1,2,3,・・・,n,・・）が得られた後に
整数Zを構成して、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列の構成（無限降下列も可）は、ありでしょう

いま、問題にしていることは、公理的集合論で
空集合Φから、後者関数のみを使って、作った集合で∈順序がどうなるか（無限降下列が存在するかどうか）？
それは、後者関数の作り方にもよるけど、選択公理（あるいは可算選択公理）にも関連しているらしい（>>269）（＾＾
（もちろん、正則性公理も重要）

そして、たとえ有限を扱っていても、青天井（いくらでも大きな）なら、
「いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならない」
（レーヴェンハイ-スコーレムの定理）みたいなことになる（>>251）
で、まとまらないけど、
要するに、負数 -n,・・・,-3,-2,-1 なる降下列は、今論じている∈順序とは別と思う（おそらく一般的な順序型の議論になる）

これ以上の細かい議論は、>>266 ID:YULRpgNc さんとよろしく
（もしあなたと同一人物ならご容赦）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイ-スコーレムの定理
(抜粋)
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
この事実を定理の一部とする場合もある。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/276

322: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/13(日) 07:11:08.01 ID:sXrN/kYa

>>318
>無限公理によるωは、ノイマンのsuc(a)=a∪{a}の超限回繰り返しではない
>なぜなら
>ω=suc(a)=a∪{a}となるようなa（つまりωの一番右の元！）
>が存在しないから

そう！ その指摘は正しいね
ωは、下記の通り、”任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω”で、「 0 でも後続順序数でもない順序数」だ
「順序位相（英語版）に関する極限点」だから、極限を用いて考えれば良い
有限順序数のｎ→∞の極限として、ωを理解するのが分り易い

それは、ツェルメロ構成に同じだ
ノイマン後者関数の定義から、極限でωがでる

同様に、
ツェルメロ後者関数の定義から、極限でωがでる。そして、またωの後者が始まる。そう理解するのが、現代数学の正しい理解だね（＾＾

(参考>>164もご参照)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
(抜粋)
集合論および順序論（英語版）における極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。
（全ての有限）順序数からなる空でない集合の合併は最大元を持たないから、常に極限順序数である。
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点/極限点
(抜粋)
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93
T1空間
(抜粋)
X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/322

476: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/26(火) 07:52:14.65 ID:oYs7jyeH

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79 より
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/169-
169 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/11/26(火) 00:26:15.90 ID:oYs7jyeH [3/5]
(抜粋)
シングルトンの可算多重カッコ（ {{{・・・{{{ }}}・・・}}} ←{ }が多重になったもの)
が理解できない落ちこぼれさんたち多数居たなｗｗ（＾＾；
(引用終り)

英文法では、数と序数詞が区別されるんだ
日本語では、助数詞で「‐番目」「-回目」「-人目」「‐位（順位）」を使うだよね

で、本題だが

数　　　　：1 　,2 　 ,3　　 ,4　　　 ,・・・,n　　　　　　,・・・∞
順序数　：1st,2nd ,3rd　 ,4th　　 ,・・・,nth　　 　　,・・・ω
（１対１対応）　↓↑
ｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ：{}　,{{}}　,{{{}}}　 ,{{{{}}}}　　,・・・,{・・{}・・}n　,・・・{・・{}・・}∞

（注：{・・{}・・}nは、カッコ{}がn重、{・・{}・・}∞は、同∞重のｼﾝｸﾞﾙﾄﾝ）

ちゃんと、可算の範囲で、全部対応が付きますがなｗ（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8F%E6%95%B0%E8%A9%9E
序数詞
(抜粋)
序数詞（じょすうし）、順序数詞（じゅんじょすうし）とは物事の順序・順番（序数）を表す数詞である。これに対し、物事の数量を表す数詞は基数詞と呼ばれる。
同音の助数詞との混同に注意。
欧州の言語において序数詞は、日付（日）や世紀、分数の分母、また1世、2世、3世…といった同名の人物の世代数などにも用いられる。

2.3 序数詞の発達していない言語
2.3.1 中国語
2.3.2 日本語
2.3.3 朝鮮語

日本語
日本語は単独の序数詞を持たず、「‐番目」「-回目」「-人目」「‐位（順位）」といった接尾辞や、「第‐」といった接頭辞を付けて順番・順序などの序数を表現する。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/476

519: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/28(木) 21:01:57.22 ID:QdpmOFrx

>>501-502 補足
(引用開始)
天才Zermeloが、シングルトンによる自然数の構成を与えた（1908年）
（”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.”）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)

さて
・上記のように、シングルトンは、有限には限らない
　（これは自明だが以下説明する）
・数学では、可算無限を考えることは、頻繁にある
・例えば、下記の時枝記事は”可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる”という記載から始まる
・あるいは、下記の形式的冪級数の各項の係数が、”箱が可算無限個ある”ことに相当するだろう
・また、下記のヒルベルトの無限ホテルのパラドックスでは、”客室が無限にあるホテルを考える”となる
・さて、可算無限個ある箱に、縦棒”|”を入れるとする。”|||・・・”となる
　これを、利用して、・・・|||Φ|||・・・、
　つまりΦを真ん中にして、左右に”|||・・・”を配置する
・ここで、縦棒”|”を左カッコ{ や、右カッコ ｝に取り替える。即ち
　左の・・・|||→・・・{{{ に
　右の|||・・・→{{{・・・ に 取り替えると
　・・・{{{Φ}}}・・・となる
　ここで、Φを取り除けば、・・・{{{ }}}・・・
　ここでΦ＝{ }を替えれば、・・・{{{{ }}}}・・・となる
・ヒルベルトの無限ホテルや形式的冪級数の存在が、否定できない（当然できないよね）
　とすれば、”|||・・・”の存在も否定できない
・従って、・・・{{{ }}}・・・（可算無限多重シングルトン）の存在も否定できない
QED

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/519

540: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/30(土) 20:55:01.03 ID:4Ujjq2jv

>>537 機械英訳してみた（＾＾

（Google 仏→英訳）
On the notion of finite set.
Through
Casimir Kuratowski (Warszawa).

Mr. W.Sierpinski gave in his book The axiom of Mr. Zermelo and his role in the Theory of Ensembles and Analysis 1) a new definition of the finite set.
This definition is essentially distinguished by the fact that it does not depend either on the notion of natural number or on the general notion of function, which usually enters into the definitions that make use of the notion of correspondence.
The definition in question is as follows:

"Consider classes K sets each of which satisfies the following conditions:
1 ° any set containing a single element belongs to class K,
2 ° si.A. and B are two sets belonging to the class K,
their set-sum A + B also belongs to K.
Let's call finite everything that belongs to each of
classes K satisfying conditions 1 ° and 2 ° ".

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/540

549: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/30(土) 21:49:30.28 ID:4Ujjq2jv

>>536
>・Kuratowski, Kazimierz (1920), "Sur la notion d'ensemble fini" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1: 129?131

1920は、2019から見れば、ほぼ100年前

>>544 補足
＞W.Sierpinski氏は彼の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」1）有限集合の新しい定義を与えました。

Kuratowskiは、Sierpinski氏の著書「Zermeloの公理とアンサンブルと分析の理論における彼の役割」の有限集合の新しい定義を改良したわけです
1920年当時、（20世紀初頭までの）数学を公理的に扱えるようにするというのが、最先端の研究だった時代
「Zermeloの公理」が出ていたんだ
で、みなさんご存知のように、Zermeloはまずは、自然数N （可算無限）を、彼の公理から、構成した
（>>519ご参照）

で、当時既に知られていたようだが、自然数の構成は１通りではない
2019年では、ノイマンの構成が一番有名だが、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 などをご参照

で、有限と無限の定義が、このような自然数の構成に依存するのは、まずいと思ったのだろう
まずは、Sierpinski氏が考えて、それをKuratowskiを改良した

だから、SierpinskiやKuratowskiは、無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)みないなのは、想定外
（まずは、素朴に無限と有限を分けましょうということだったろう）
また、1920年当時、無限集合のシングルトンを言い出したら、そもそも「有限とは？」「無限とは？」の議論が収束していないとき、混乱に輪を掛ける
（まあ、2019年の現代でも、可算多重シングルトン{・・・{}・・・}の存在を否定する数学おサルがいるくらいですし。まあ、もう1月で2020年になりますけどね（＾＾；）

また、2019年の現代でも、無限集合のシングルトン、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)などを数学で使う需要は少ない
もちろん、シングルトンなのだから、定義から、その集合の要素はただ1つ

但し、無限集合のシングルトンは、{C}(複素数)、{R}(実数)、{Q}(有理数)、{Z}(整数)、{N}(自然数)達は、その要素が、非可算無限集合であったり、あるいは可算無限集合

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/549

554: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/01(日) 07:53:15.16 ID:id6ENHqe

>>503 補足
>一階述語論理か
>それ以上の高階述語論理なのかに無自覚ならば
>所詮、有限と無限とをきちんと区別できない
>それを知らずに議論するあわれな落ちこぼれたち
>あわれな”なんとかさん”と同類じゃね！？ｗ（＾＾；

（まとめ引用）ｗ（＾＾
　>>251より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム-スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム-スコーレムの定理（英: Lowenheim-Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。
もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。
レーヴェンハイム-スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。
例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。

>>491より
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E9%9B%86%E5%90%88
有限集合
(抜粋)
基礎付け問題
無限集合を擁護する数学者にとっても、ある重要な文脈では、有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。
これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき（逆もまた同様）、従ってペアノの理論体系の不完全性は遺伝的有限集合の理論にも存在することが暗に示されている。
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/554

563: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/01(日) 09:03:00.56 ID:id6ENHqe

>>552 補足

下記順序数”0, 1, 2, 3, ............, ω， S(ω)（＝ω+1）”を数直線に埋め込んでみよう
数直線の区間[0,2]で
n→1-(1/(1+n))＝n/(1+n)
と変換すると
0→1-1/1＝0
1→1-1/2＝1/2
2→1-1/3＝2/3
3→1-1/4＝3/4
　・
　・
ω→1-1/(1+ω)＝1
となって、”0, 1, 2, 3, ............, ω”
は、区間[0,1]に埋め込める
そこから、 S(ω)（＝ω+1）は
ω+1→1+1/2となって、区間[1,2]の中央の点に対応する
そして、上記が繰返される

（>>552の）Zermeloの自然数構成では、可算多重シングルトン{・・・{}・・・}＝ωであり
これは、区間[0,1]の点[1,1]に相当する
これで、可算多重シングルトン{・・・{}・・・}＝ωのモデルが存在することが分かった
QED

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
順序数の大小関係

順序数の並び方を次のように図示することができる：

0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/563

574: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/03(火) 00:04:55.04 ID:BRqy0upZ

>>568 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
より

Zermelo 構成（0 := {}, suc(a) := {a} と定義）
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
4 := {3} = {{{{{}}}}}
　・
　・
n := {n-1} = {・・{{}}・・}（0 := {}の外がn重）
　・
ω := {・・・{{}}・・・} (0 := {}の外がω重）

一方、ノイマン 構成（0 := {}, suc(a) := a∪{a} と定義）
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
4 := suc(3) = {0, 1, 2, 3} = {0, {0}, {0, {0}},{0, {0}, {0, {0}}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},{{}, {{}}, {{}, {{}}}}}
　・
　・
n := suc(n-1) = {0, 1, 2, 3,・・,n-1} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},・・,{{}, {{}},・・, {{}}・・}}
　・
　・
ω := {0, 1, 2, 3,・・,n・・・} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},・・・,{{}, {{}},・・・, {{}}・・・}}

さてここで
ノイマン 構成から、一番右の要素のみを残して、他の元を抜くと、Zermelo 構成になる
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
　↓(0,を抜く)
2 := {{{}}} (Zermelo 構成)

3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
　↓(0, 1,を抜く)
3 := {{{{}}}} (Zermelo 構成)

4 := suc(3) = {0, 1, 2, 3} = {0, {0}, {0, {0}},{0, {0}, {0, {0}}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},{{}, {{}}, {{}, {{}}}}}
　↓(0, 1, 2, 3,を抜く)
4 := {{{{{}}}}} (Zermelo 構成)
　・
　・
n := suc(n-1) = {0, 1, 2, 3,・・,n-1} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},・・,{{}, {{}},・・, {{}・・}
　↓(0, 1, 2, 3,・・, n-1,を抜く)
n := {・・{{}}・・} (Zermelo 構成)
　・
　・
ω := {0, 1, 2, 3,・・,n・・・} = {{}, {{}}, {{}, {{}}},・・・,{{}, {{}},・・・, {{}}・・・}}
　↓(0, 1, 2, 3,・・, n,・・を抜く)
ω := {・・・{{}}・・・} (0 := {}の外がω重）(Zermelo 構成)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/574

636: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/07(土) 15:37:50.36 ID:H2e5WMAT

>>622
おサル＝ID:uZFmzNJe は、恥かきだなｗ（＾＾；
正則性公理のそこでつまずいているのかｗ

（参考）
Inter-universal geometry と ABC予想 42
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572150086/
701 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/12/07(土) 09:59:15.64 ID:uZFmzNJe [3/3]
>>697
＞正則性公理には反してませんよ、ZFCに反してませんよと強調したかった
しかし∈-loopsは、正則性公理とは矛盾しますけどね
「集合のいかなる∈列も有限長で終わる」
というのが正則性公理ですから
（それゆえ「基礎の公理」とも呼ばれる）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
(抜粋)
数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。

定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。

X が集合であるとき、従属選択公理（英語版）（これは選択公理よりも真に弱く可算選択公理よりも真に強い）を仮定すれば、同値な定義として、関係が整礎であることを可算無限降下列が存在しないこととして定められる[3]。

集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、∈ が x の推移閉包上で整礎関係となることと同値である。ZF における公理のひとつである正則性の公理は、全ての集合が整礎であることを要請するものである。

関係 R が X 上で逆整礎 (converse well-founded) または上方整礎 (upwards well-founded) であるとは、R の逆関係 R?1 が X 上の整礎関係であるときにいう。このとき R は昇鎖条件を満たすという。

例
全順序でない整礎関係の例。
・自然数の順序対全体の集合 N × N 上の、(n1, n2) < (m1, m2) ⇔ n1 < m1 かつ n2 < m2 となる順序。

整礎でない関係の例。
・負整数全体 {?1, ?2, ?3, …} の通常の順序。任意の非有界部分集合が最小元を持たない。
・有理数全体（または実数全体）の標準的な順序（大小関係）。たとえば、正の有理数（または正の実数）全体は最小元を持たない。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/636

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