現代数学の系譜　カントル　超限集合論

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713: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/13(金) 07:56:11.71 ID:ljJF0g2A

これが分り易いかも
Foundation and epsilon-induction
おサルでも読めるだろう
正則性公理が理解出来ていないんだよね（＾＾；

http://web.mat.bham.ac.uk/R.W.Kaye/logic/foundation.html
Foundation and epsilon-induction
(抜粋)
1. Introduction
Either by examining the sets created in the first few levels of the cumulative hierarchy or from other means, via considering the idea of constructions of sets perhaps, we conclude that we do not expect sets to have infinite descending sequences
x0∋x1∋x2∋x3∋x4∋…
at least for sets in the cumulative hierarchy of constructed sets. The axioms of Zermelo-Fraenkel set theory are intended to represent axioms true in this hierarchy, so we expect to have an axiom stating there can be no such descending sequence.
Unfortunately, the statement that there is no such descending sequence is not first order, but second order. This is analogous to the fact that there are nonstandard structures satisfying all first order sentences of arithmetic true in N.
However, the example of arithmetic provides at least one clue as to a powerful axiom scheme true in all structures without infinite descending chains: induction. Applied to set theory we have the axiom scheme of ∈-induction.
Axiom Scheme of ∈-Induction: For all first order formulas ?(x,a??) of the language L∈, ∀a???(∀x?(∀y∈x??(y)→?(x))→∀x??(x,a??)).
We are not going to adopt this as an axiom scheme for Zermelo Fraekel because it will follow from other axioms, and it will be instructive to see how that happens. We will, however, adopt the following special case of ∈-Induction.
Axiom of Foundation: ∀x?(∃y?y∈x→∃y?(y∈x∧￢∃z?(z∈x∧z∈y))).
Other ways of saying this include: if x is nonepty there is a set y∈x such that y∩x=?; and if x is nonepty there is an ∈-minimal y∈x i.e. one with no z∈x having z∈y.
Proposition. The axiom of fountation follows from the axiom scheme of ∈-induction.
Proof.

2. Applications

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/713

747: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/14(土) 21:58:33.44 ID:s6Tab8iq

>>743
>ωから降下していく場合、いきなり何かある自然数ｎに降下するから

おサルの墓穴は、笑えるわｗ

下記の
”定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)
が存在しないとき、（ X, =< ）を整列順序という。
別の言い方をすれば、整列順序とは空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つよう
な全順序のことである。”

を、熟読しなよ、あほサル（＾＾；

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/zengaku-18.html
全学共通科目「現代の数学と数理解析」
数理解析研究所教員によるリレー式講義　（２０１８年度）

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/zengaku/18/terui-zengaku2018.pdf
第７回
日時： ２０１８年６月１日（金）
１６：３０−１８：００
場所： 数理解析研究所　４２０号室
講師： 照井 一成　准教授
題目： NASH村の命名規則：整列擬順序の理論へ
要約：
人名をひらがなで表す。名前AがBに埋め込めるとは、Bからいくつか文字を取り除くと Aになることをいう。
たとえば「ゆか」は「ゆうか」や「かゆかゆ」に埋め込めるが 「かゆゆ」には埋め込めない。
さて、NASH村では次々と子供が生まれていくが、 新生児の命名にはひとつきまりがあり、過去に 生まれた子の名前が新生児の名前に埋め込めてはならないとする。
この命名規則は いつまでも維持可能だろうか？それともいつかは新生児に名前をつけられない事態が 生じるだろうか？
「生じる」というのがHigmanの定理(1952)である。
この定理はNash-WilliamsやKruskal等 多くの研究者によって一般化され、今でも研究は発展し続けている。
本講義ではこの問題を取り掛かりとして、整列擬順序理論の一端を紹介したい。

(抜粋)

定義 2.2
（ X, =< ）を全順序とする。Xに無限降下列
a0 > a1 > a2 > ・・・ (ai ∈ X)
が存在しないとき、（ X, =< ）を整列順序という。
別の言い方をすれば、整列順序とは空でないどんな部分集合 Y ⊆ X も最小元を持つよう
な全順序のことである。どんな集合上にも整列順序をいれられるというのが Zermelo の整列定理である。
これは選択公理と同値である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/747

775: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/15(日) 09:08:07.56 ID:BvQtIPz4

>>763-764
＞限り無く∞に近いが決して∞では無い 有限数

いいね。その考えは、
コンパクト化という考えだね

1)数学セミナー 　2019年12月号に記事がある
2)拡張実数を考え、∞を導入すると、実数をコンパクト化できる
3)1/∞＝0と定めることができる
4)「位相空間としては、実数直線は開区間 (0, 1) に同相である」（下記）
5)拡張実数で、
　自然数：1　 ,2　 ,3　 ,・・,n　 ,・・,　∞
　逆数　 ：1/1,1/2,1/3,・・,1/n,・・,1/∞＝0
6)順序数で考えると、全ての有限自然数の後のωに相当するのが∞
7)ノイマンの自然数構成で、ω（＝∞）が構成できた
8)この無限長の列は、当然正則性公理には反しない
9)同じ事が、Zermelo構成でできる。正則性公理には反しない!!
ＱＥＤ
（＾＾；

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/8170.html
数学セミナー 2019年12月号
コンパクト／有限と無限の橋渡し 薄葉季路　22

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡張実数は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 ?∞ の二つを加えた体系を言う。
無限大は、（通常の）実数ではない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E7%9B%B4%E7%B7%9A
実数直線は、その上の各点が実数であるような直線である。
位相的な性質
実数直線上には標準的に二つの互いに同値な方法で位相を入れることができる。一つは、実数直線が全順序集合であることを用いて順序位相を入れる方法。
もう一つは先に述べた距離からくる内在的な距離位相を入れる方法である。R 上のこれら二つは全く同じ位相を定める。位相空間としては、実数直線は開区間 (0, 1) に同相である。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Real_projective_line.svg/150px-Real_projective_line.svg.png
R の一点コンパクト化は円周（実射影直線）であり、付け加えられた点は符号なしの無限大と考えることができる。
別な方法で、実数直線に二つの端点を付け加えて得られる端コンパクト化は拡張実数直線 (extended real line) [?∞, +∞] と呼ばれる。
他にも、実数直線に無限個の点を付け加えるストーン-チェックコンパクト化などがある。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/775

945: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/20(金) 21:20:50.44 ID:ZaXFXilg

>>934
おサルの数学は面白いわ（＾＾

（>>794より）
<Zermelo構成>
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
形式的な定義
自然数の公理
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。

空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)

この後を続けると
n := {n-1} = {・・{0}・・} （0のn重シングルトン）
　・
　・
ω:（0の可算無限重シングルトン）
ω+1:= {ω}（ωの1重シングルトン）
ω+2:= {ω}（ωの2重シングルトン）
ω+3:= {ω}（ωの3重シングルトン）
となる

これが一番自然でしょ（＾＾

おサルの主張は、
「”ω：（0の可算無限重シングルトン）”と考えると
　”ωから、無限降下列が構成される”から、正則性公理に反する」
ということだったろ？ｗ（＾＾

しかし、>>886に示したように、<Zermelo構成>による
後者関数による自然数の構成は、あくまで上昇列であって、「正則性公理に反することはない！」というのがヒトの数学だ！！
（実はZermelo構成に限らず、自然数の構成は、あくまで上昇列なのだよ。当たり前のことだが）

”ω:（0の可算無限重シングルトン）”の存在が、なぜ「正則性公理に反する」と言えるのかな？ｗ（＾＾
確かに、”ω:（0の可算無限重シングルトン）”以外の可能性も、あるかもな

しかし、今問題にしていることは
おサルの主張：『”ω:（0の可算無限重シングルトン）”の存在は、”正則性公理に反する”』なのだ

どうぞ、ご説明を
お願いしますよｗｗ（＾＾；

どこでどう、、”正則性公理に反する”のかのご説明をｗｗ
それできないに、１ペソ （：ｐ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/945

961: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/12/21(土) 00:23:37.19 ID:AVt64yFu

>>945 補足
（>>783）
<ノイマン構成>
0,1,2,・・,n-1,n,・・,ω,ω+1,ω+2,・・
後者関数を、suc (a):=a∪{a}とする
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
例えば、ω+1:=ω∪{ω}

<Zermelo構成>では、後者関数を、suc (a):={a}とする
ω+1:={ω}

で、確かに<ノイマン構成>綺麗ですよね。ω＝Nとなって、順序と濃度が対応している
それは、<Zermelo構成>では、実現できていない。
けれども、<Zermelo構成>によるωの構成はだれも否定していない
<ノイマン構成>からぱくって、ω＝Nも出来なくは無い
ω＝N、ω+1:={N}、ω+2:={{N}}、・・ としてもいい
だが、ωの後者以降は、シングルトン。ωより以前も、シングルトン。
だったら、<Zermelo構成>でのωも、シングルトンと考えるのが、自然であり理論的にも綺麗
<Zermelo構成>でのωが、シングルトンであることを否定する理屈なし
（おサルの「正則性公理に反する」とか、アホ発言はあったけどね（＾＾； ）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
(抜粋)
<ノイマン構成>
・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
　suc (a):=a∪{a}
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。

<Zermelo構成>（>>725より）
他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/961

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