[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜　カントル　超限集合論 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜　カントル　超限集合論 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/

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54: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 15:35:29.82 ID:JrhjRl4x >>50 >>53 補足します https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 順序数 (抜粋) 順序数の並び方を次のように図示することができる： 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), .............................. まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。 そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。 その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。 だがそれで終わりではない。 無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。 (引用終り) このような、順序数の無限の列が、ZFCで構成できる 多分、ノイマン宇宙とかですかね。あるいは、到達不能な巨大基数か（＾＾ で、例えば、最小の超限順序数 ωなどから、 下の有限順序数ｎの世界へ行くのに 無限上昇列を逆に辿れば、無限に降下する列になる でも、これを正則性公理で禁止するということはおかしいですよ つまり、正則性公理のいう無限降下列禁止と、 超限順序数 ωなどから無限上昇列を逆に辿る話とは別ものと考えざるをえないということ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/54

102: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/05(土) 22:18:51.82 ID:JrhjRl4x >>95 ありがとう ええ、確かにそうです ですが、その英文の記述は {・・・{Φ}・・・}なる無限多重カッコ{}の集合を否定するものではないですよね ツェルメロの自然数構成で、後者関数はあくまで、aに対して{a}ですからね （下記の(a)と(b) とですね） 私は、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}は、自然数の集合として、決して否定するものではありませんよ （追加引用） https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/ Stanford Encyclopedia of Philosophy Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett First published Tue Jul 2, 2013 (抜粋) II.Axiom of Elementary Sets This asserts (a) the existence of a set which contains no members (denoted ‘0’ by Zermelo, now commonly denoted by ‘Φ’); (b) the existence, for any object a, of the singleton set {a} which has a as its sole member; and (c) the existence, for any two objects a, b, of the unordered pair {a, b}, which has just a, b as its members. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/102

151: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/06(日) 11:23:00.82 ID:d8OQiN+r >>110 補足 >Infinity >This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}. > (Thus, this infinite set must contain Φ, {Φ}, {{Φ}}, ….) で、N＝{Φ, {Φ}, {{Φ}}, …}で、自然数の集合Nができるけど 無限公理で最初は、Nよりも大きな集合ができるんですよね、確か（下記wiki） (引用終り) ツェルメロ構成で、aの後者関数：suc(a) := {a} なので 上記、set a に対して set {a}が必ず属するという、無限公理の規定の仕方をしているのかな？ （原典まで確認していないが） ノイマン流では、で、aの後者関数：suc(a) := a∪{a} なので この場合の無限公理は、set a に対して a∪{a}が必ず属すると規定される まあ、自然数ｎに対しその後者ｎ＋１が必ず属する集合Nが存在という意味だな このNは、我々の望む自然数ｎ以上のものを含む。というか、含んでも無限公理上はしかたない だから、あとから不要なもの（後者）を排除するしかない では、不要なもの（後者）とは何か？　我々の望むものは、自然数ｎ（有限）のすべて だから、不要なもの（後者）とは、有限を超えたものであって、真に無限のもの ツェルメロ構成では、真に無限の{・・・{Φ}・・・}なる無限多重カッコ{}の集合たちですね https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86 自然数 以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。 例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、 　・ 　・ と非常に単純な自然数になる。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86 無限公理 (抜粋) 定義 ZF公理系における公式な定義は次の通りである。 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する： ∃A(Φ∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A)) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/151

191: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/07(月) 08:34:01.82 ID:3bkiY8iJ >>189-190 全く証明になってないですね。 結局Ωは何になるんですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/191

241: １３２人目の素数さん [] 2019/10/10(木) 20:31:25.82 ID:JxHMvoEF >>224 ＞それ、下記の”Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett”に書いてあるよ 英語読めてる？ >VII.Infinity >This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, >and for each set a that it contains, also contains the set {a}. > (Thus, this infinite set must contain ∅, {∅}, {{∅}}, ….) >The natural numbers are represented by Zermelo as by ∅, {∅}, {{∅}}, …, >and the Axiom of Infinity gives us a set of these. ツェルメロの自然数における無限公理は {∅, {∅}, {{∅}}, …, } の存在を述べているだけ {…{∅}…}なんて全然出てこないけどな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/241

274: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/12(土) 08:07:46.82 ID:0oc9Ztsl >>272 追加 ここらは、全部下記の”Stanford Encyclopedia of Philosophy”に、類似のことが書かれていると思うよ （>>224より） https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/ Stanford Encyclopedia of Philosophy Zermelo’s Axiomatization of Set Theory Michael Hallett First published Tue Jul 2, 2013 (抜粋) 3. The Major Problems with Zermelo's System 3.1 Separation 3.2 Completeness 3.2.1 Representing Ordinary Mathematics 3.2.2 Ordinality 3.2.3 Cardinality 3.2.4 Ordinals http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/274

472: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/27(日) 20:54:28.82 ID:EUeYkluT ほいよ https://scholarpublishing.org/sse/ Services for Science and Education Ltd https://scholarpublishing.org/sse/wp-content/uploads/2018/08/10.14738tnc.092018.1_global-set-theory_2018.pdf Satoko Titani Global Set Theory Society for Science and Education (United Kingdom) Dedicated to Professor Gaisi Takeuti (1925 ? 2017) Contents 1 Basic set theory 11 1.1 Naive set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Formal system of set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Gentzen’s formal system of logic . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Inference rules of LK and LJ . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.3 Axioms of set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Construction of mathematics in ZFC . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Definition of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2 Ordered pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.3 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.4 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.5 Equivalence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.6 Natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.7 Operations on the natural numbers . . . . . . . . . . . 32 1.3.8 Ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.3.9 Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3.10 Rational number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.3.11 Real number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3.12 Complex number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3.13 Universe of ZFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/472

559: １３２人目の素数さん [] 2019/12/01(日) 08:19:03.82 ID:go6lPTYO >>552 ＞空集合を始点として元を1つずつ追加していく ＞数学的帰納法で証明可能な全属性を持つ。 上記の「元」はどんなものでもいいのであって、 元が無限集合だからダメだとかいう奴は 正真正銘の馬鹿ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/559

578: １３２人目の素数さん [] 2019/12/03(火) 06:15:31.82 ID:2OK0+uPO >>573 確かに ω := {・・・{{}}・・・} (0 := {}の外がω重） なんて馬鹿いってるのは◆e.a0E5TtKEであって Zermeloではない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/578

683: １３２人目の素数さん [sage] 2019/12/07(土) 22:03:45.82 ID:r8l5YtX/ 無限公理なんてスレ主にわかるわけない。 とてもそんなレベルにない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1570237031/683

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